1、1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题知识点一直线与平面平行 1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行a2.性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行ab答案1abba2aab1已知直线a平面，P，那么过点P且平行于直线a的直线有_条解析：由线面平行的性质可得答案：12在下图所示的正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在棱
2、的中点，则直线AB与平面PNM的位置关系是_解析：在正方体中，AB是正方体的对角线，M，N，P为所在棱的中点，取MN的中点F，连接PF，则易知PFAB，故由线面平行的判定定理可知直线AB与平面PNM平行答案：平行知识点二平面与平面平行 1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条_直线与另一个平面平行，则这两个平面平行2.两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面_，那么它们的_平行ab答案1相交ababPab2相交交线ab3判断正误(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(2)如果两个平面平行，那么分别在这
3、两个平面内的两条直线平行或异面()(3)设l为直线，是两个不同的平面，若l，l，则.()答案：(1)(2)(3)4下列条件中，能判断两个平面平行的是()A一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案：D5已知平面，直线a，有下列说法：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_解析：由面面平行的性质可知，过a与相交的平面与的交线才与a平行，故错误；正确；平面内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故错误答案：热点一直线与平
4、面平行的判定与性质 直线与平面平行的判定与性质是高考考查平行关系的一个重要考向，常与线线平行、面面平行及垂直关系综合出现在解答题中，考查线面平行的判定定理与性质定理在证明中的应用考向1直线与平面平行的判定【例1】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点求证：GF平面ADE.【证明】证法1：如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中点，所以DFCD.由四边形ABCD是矩形得，ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF
5、DH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.证法2：如图，取AB的中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF平面ADE.又因为GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因为GF平面GMF，所以GF平面ADE.【总结反思】证明直线与平面平行，一般有以下几种方法(1)若用定义直接判定，一般用反证法(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言
6、叙述证明过程(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点(1)证明：AD1平面BDC1；(2)证明：BD平面AB1D1.证明：(1)D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，C1D1綊DA，四边形ADC1D1为平行四边形，AD1C1D，又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)连接D1D，D1，D是A1C1，AC的中点，易知在A1ACC1中D1D綊A1A，又在A1ABB1中A1A綊B1B，B1B綊D1D.故四边形BDD
7、1B1为平行四边形，BDB1D1，又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1.考向2直线与平面平行的性质【例2】如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积【解】(1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC，同理可证EFBC，因此GHEF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK，因为PAPC，点O是AC的中点，所以PO
8、AC，同理可得POBD，又BDACO，且AC，BD都在底面内，所以PO底面ABCD，又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH，因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF，所以GK是梯形GEFH的高，由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBBDOB，即点K是OB的中点再由POGK得GKPO，即点G是PB的中点，同理GHBC4，由已知可得OB4，PO6，所以GK3，故四边形GEFH的面积SGK318.【总结反思】线面平行的性质定理是用来证明线线平行的，其关键是转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行.(2017云南第
9、一次检测)在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为_解析：取AC的中点G，连接SG，BG.易知SGAC，BGAC，故AC平面SGB，所以ACSB.因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，则SBHD.同理SBFE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形又ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四边形DEFH为矩形，其面积
10、SHFHD.答案：热点二 平面与平面平行的判定与性质 平面与平面的平行是线、面位置关系中重要的一环，是高考的重要内容，主要体现在以下两个方面：考向1平面与平面平行的判定【例3】如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.【证明】(1)连接FG.AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E，A1GBE.又C1F綊B1G，四边形C1FGB1是平行四边形FG綊C1B1綊D1A1，四边形A1GFD1是平行四边形A1G綊D1F，D1
11、F綊EB，故E、B、F、D1四点共面(2)H是B1C1的中点，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90.B1HGCBF，B1GHCFBFBG.HGFB.又由(1)知，A1GBE，且HGA1GG，FBBEB，平面A1GH平面BED1F.【总结反思】证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)面面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；(4)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是A
12、B，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明：(1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E、F分别为AB、AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG.A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.考向2平面与平面平行的性质【例4】如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当等于何值时，BC1平面
13、AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值【解】(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1.连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.所以当1时，BC1平面AB1D1.(2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O得BC1D1O，所以，又由题可知，1，所以1，即1.【总结反思】利用平面与平面平行的性质定理可以用来证明或判断线面平行关系或线线平行关系.(2016新课标全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：因为过点A的平面与平面CB1D1平行，平面ABCD平面A1B1C1D1，所以mB1D1BD，又A1B平面CB1D1，所以nA1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为，选A.答案：A
