1、第2课时 等差数列的性质内 容 标 准学 科 素 养1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律2.理解等差数列的性质3.会运用等差数列的性质解决问题.发展逻辑推理提升数学运算应用数学抽象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 等差数列的项与序号的关系阅读教材P3839，思考并完成以下问题(1)等差数列an中，ana1(n1)d.那么 ana2_d？ana3_d?anam_d？(mn)提示：(n2)(n3)(nm)(2)等差数列an中，a1an 与 a2an1，a3an2有什么关系？提示：a1ana2an1a3an2.知识梳理两项关系an
2、am(n，mN*)多项关系若an为等差数列，且 mnpq(m，n，p，qN*)，则在有穷等差数列an中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1ana2an1a3an2(nm)damanapaq知识点二 等差数列“子数列”的性质教材P39练习4，思考并完成以下问题已知一个无穷等差数列an的首项为 a1，公差为 d.(1)将数列的前 m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，首项、公差各是多少？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，首项、公差各是多少？(3)取出数列中所有序号为 7 的倍数的项，组成一个新的数列
3、呢？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？提示：上述问题中(1)是等差数列，首项为 am1，公差为 d.(2)是等差数列，首项为 a1，公差为 2d.(3)是等差数列，首项为 a7，公差为 7d.知识梳理 已知一个无穷等差数列an的首项为 a1，公差为 d，(1)将数列中的前 m 项去掉，其余各项组成首项为，公差为的等差数列(2)奇数项数列a2n1是公差为的等差数列偶数项数列a2n是公差为的等差数列(3)若数列kn是等差数列，则数列akn也是等差数列(4)can为公差为 d 的等差数列(c 为任一常数)(5)can为公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数)(6)anank为公差为 2d 的等差数
4、列(k 为常数，kN*)(7)panqbn为公差为 pdqd的等差数列(p，q 为常数)am1d2d2d知识点三 等差数列的函数性质思考并完成以下问题在直角坐标系中，画出通项公式为 an3n5 的数列的图象，这个图象有什么特点？(1)数列 an3n5 为等差数列，其图象的孤立的点在_上提示：直线 y3x5.(2)数列 an3n5 的公差是直线 y3x5 的_提示：斜率 知识梳理(1)等差数列与一次函数等差数列的通项公式 ana1(n1)ddn(a1d)，当 d0 时，an 是关于 n 的常数函数；当 d0 时，an 是关于 n 的一次函数，点(n，an)分布在以 d 为斜率的直线上，且是这条直
5、线上的一列孤立的点(2)公差 d 与斜率等差数列an的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差 d，即 dana1n1(n2，nN*)(3)等差数列的单调性等差数列an的公差为 d，当 d0 时，数列an为数列当 d0 时，数列an为数列当 d0 时，数列an为数列递增递减常自我检测1已知等差数列an中，a7a916，a41，则 a12 的值是()A15 B30C31 D64答案：A2已知(1,1)，(3,5)是等差数列an图象上的两点，则 an_.答案：2n1探究一 等差数列性质的应用阅读教材 P68 复习参考题 A 组第 8 题1.在等差数列an中，若 a3a4a5a6a745
6、0，那么 a2a8等于多少？提示：a3a4a5a6a75a5450，a590，故 a2a82a5180.教材 P68复习参考题 B 组第 2 题第(1)问2.如果 a，b，c 成等差数列，1a，1b，1c能构成等差数列吗？你能用函数图象解释一下吗？提示：不能构成等差数列，可以从图象上解释如果 a，b，c 成等差数列，则通项公式为 ypnq 的形式，且 a，b，c 位于同一直线上，而1a，1b，1c的通项公式却是 y1pnq的形式，1a，1b，1c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列例 1(1)数列an为等差数列，已知 a2a5a89，a3a5a721，求数列an的通项公式；(2)在等差数列
7、an中，a158，a6020，求 a75的值解析(1)a2a82a5，3a59，a53.a2a8a3a76，又 a3a5a721，a3a77.由解得 a31，a77 或 a37，a71.a31，d2，或 a37，d2.由通项公式的变形公式 ana3(n3)d，得 an2n7 或 an2n13.(2)a60a15(6015)d，d 2086015 415，a75a60(7560)d2015 41524.方法技巧 等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于 a1，d 的方程(组)，确定 a1，d，然后求其他量(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足 mnpq2r(m，n，p，
8、q，rN*)，则 amanapaq2ar.跟踪探究 1.在单调递减的等差数列an中，若 a31，a2a434，则 a1()A1 B2C.32D3解析：由题知，a2a42a32，又因 a2a434，数列an单调递减，所以 a412，a232.所以公差 da4a2212.所以 a1a2d2.答案：B2在等差数列an中，已知 a1a4a739，a2a5a833，求 a3a6a9 的值解析：(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.探究二 等差数列的设法与求
9、解教材 P40 A 组第 3 题如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度？提示：设三个角分别为 ad，a，ad，则 adaad180，a60.例 2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为 94，首尾两数之积比中间两数之积少 18，求此等差数列解析 设四个数为 a3d，ad，ad，a3d，则a3d2ad2ad2a3d294，a3da3d18adad，又因为是递增数列，所以 d0，所以解得 a72，d32，此等差数列为1,2,5,8 或8，5，2,1.延伸探究 1.若本例改为：已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为 18，平方和为 116，求这三个数解
10、析：法一：设这三个数为 a，b，c，则由题意得 2bac，abc18，a2b2c2116，解得 a4，b6，c8.这三个数为 4,6,8.法二：设这三个数为 ad，a，ad，由已知可得adaad18，ad2a2ad2116，由得 a6，代入得 d2，该数列是递增的，d2 舍去，这三个数为 4,6,8.2已知单调递增的等差数列an的前三项之和为 21，前三项之积为 231，求数列an的通项公式解析：法一：根据题意，设等差数列an的前三项分别为 a1，a1d，a12d，则a1a1da12d21，a1a1da12d231，即3a13d21，a1a1da12d231，解得a13，d4或a111，d4.
11、因为数列an为单调递增数列，所以a13，d4，从而等差数列an的通项公式为 an4n1.法二：由于数列an为等差数列，所以可设前三项分别为 ad，a，ad，由题意得adaad21，adaad231，即3a21，aa2d2231，解得a7，d4或a7，d4.由于数列an为单调递增数列，所以a7，d4，从而 an4n1.方法技巧 等差数列项的常见设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设 ana1(n1)d.(2)对称项设法：当等差数列an的项数为奇数时，可设中间一项为 a，再以公差为 d 向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，；当等差数列an的项数为偶数时，可设中间两项分别为 ad，a
12、d，再以公差为 2d 向两边分别设项：，a3d，ad，ad，a3d，.课后小结在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于 a1，d 建立方程组进行运算，这是最基本的方法；二是利用性质运算，运用等差数列的性质可简化计算，往往会有事半功倍的效果素养培优1错用等差数列的性质致误在等差数列an中，若 a610，a151，求 a21的值易错分析 将性质错用为“apaqapq”导致错解自我纠正 设等差数列an的公差为 d，则a15d10，a114d1，解得a115，d1，故 a21a120d15205.2混淆两个等差数列的有关量两个等差数列 5,8,11，和 3,7,11，都有 100 项，那么它们共有多少相同的项？易错分析 解决问题时，没弄清公式中各量的含义，不同的数列各量所用符号不能相同本例中项数 n 在数列an和数列bn中的意义有区别，当项相同时，对应的序号 n 不一定相同自我纠正 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为cn，c111.又等差数列 5,8,11，的通项公式为 an3n2，等差数列 3,7,11，的通项公式为 bn4n1.所以数列cn为等差数列，且公差 d12，所以 cn11(n1)1212n1.又 a100302，b100399，cn12n1302，得 n2514，可见两数列共有 25 个相同的项04 课时 跟踪训练
