1、第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A B C D【答案】B【解析】试题分析：,，选B.考点：集合的运算.2.已知复数满足，则=（ ）A. B. C. D.【答案】C考点：复数的运算.3.已知向量，的夹角为，且，则（ ） A B C D【答案】D【解析】试题分析：，所以.考点：向量的模.4.已知，则数列的通项为（ ）A B C D.【答案】C考点：由数列的递推式求通项公式.5.执行右边的程序框图，若，则输出的（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据程序框图，每次循环中
2、的值依次为，这时结束循环，输出.考点：程序框图.6.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：圆的标准方程为，最长的弦为直径，最短的弦满足，圆心到的距离为，.考点：直线与圆的位置关系.7.将函数的图像向右平移单位得到函数的图像，则将函的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：将的图象向左平移个单位得的图象，再将其横坐标伸长为原来的2倍得的图象，选D.考点：三角函数图象变换.8.设函数，则在下列区间中，函数不存在零点的是（ ） A B C D【答案】A【解析】试题分析：采取间
3、接法，因为，所以，因此在上有零点，故在上有零点；，而，即，因此，故在上一定存在零点；虽然，但，又，即，从而，于是在区间上有零点，也即在上有零点，不能选B，C，D，那么只能选A.考点：函数的零点，诱导公式，正弦函数的性质.9.已知直线过抛物线：的焦点，且与y轴垂直，则直线与抛物线所围成的图形的面积为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：抛物线的焦点为，直线与抛物线的交点为，因此.考点：积分的几何意义.10.已知，满足，则的最小值是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由已知得，得，即时等号成立，所以，所以.选B.考点：两角和与差的正切公式，基本不等式.11.设分别是双曲线（0
4、，0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使得，其中为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由得，取中点，连接，则，所以，设，则，且，因此，解得.选D.考点：双曲线的性质.12.对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】试题分析：由已知得，当时，由得，；当时，显然符合题意；当时，.综上所述：.故选D考点：新定义，函数的概念与最值.第卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.若双曲线的离
5、心率为，则其渐近线方程为.【答案】【解析】试题分析：由题意，则，而双曲线的渐近线方程为，因此方法为.考点：双曲线的性质.14.已知数列是等差数列,为其前项和,若成等比数列，则 【答案】8或64【解析】试题分析：因为成等比数列，所以，即，或，时，时，考点：等差数列的前项和15.已知函数，若（），则= 【答案】【解析】试题分析：，又函数是奇函数，由题意，所以，即，考点：函数的奇偶性，诱导公式16.已知下列四个命题：若在上恒成立，则；锐角三角形中，则；已知，直线与椭圆恒有公共点，则;定义在上的函数满足当时，则函数在上有最小值 其中的真命题是 【答案】（2）（4）【解析】试题分析：（1）时，恒成立，故
6、（1）错误；（2）是锐角三角形，又，所以，所以，（2）正确；（3）时，直线与椭圆也是恒有公共点，（3）错误；（4）令得，令得，即是奇函数，又设，则，所以，所以是减函数，因此在上最小值为，（4）正确填（2）（4）考点：命题的真假三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；记的内角的对应边分别为，且，求的取值范围【答案】（1），递减区间为：；（2）【解析】试题分析：（1）这种类型的问题都是把函数化为的形式，然后应用正弦函数的性质得出结论；（2）从题意看，利用（1）及，求出，结合余弦定理
7、有，再由基本不等式可得结论试题解析：（1）-2分-4分函数的递减区间为：-6分（2）即-8分由得-10分又则即-12分考点：二倍角公式与两角和与差的正弦公式，三角函数的性质，余弦定理，基本不等式18.（本小题满分12分）营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪1kg食物含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费元；而1kg食物含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费元为了满足营养专家指出的 日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物和食物多少kg？【答案
8、】每天食用约，食物约，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本21元【解析】试题分析：本题是线性规划的应用问题，我们设每天食用食物，食物，总成本为，则可得出约束条件为，目标函数为，然后作出可行域，及直线，通过平移直线就可知什么时候取得最小值试题解析：设每天食用食物，食物，总成本为则目标函数为-4分不等式组化简为如图作出可行域（阴影部分）-6分把变形为，由图可见，当直线经过可行域上的点时最小-8分解方程组得的坐标为-10分所以故每天食用约，食物约，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本21元-12分考点：简单的线性规划19.（本小题满分12分）数列的前几项和为，满足，其中 若为常数，证
9、明：数列为等比数列；若为变量，记数列的公比为，数列满足，求，试判定与的大小，并加以证明【答案】（1）见解析；（2），证明见解析 【解析】试题分析：（1）这类问题可首先考虑的情形，而处理这种问题的方法是用代替中的得，两式相减可得，即，而它又等于，故得证；（2）由（1）知，由此递推式及可求得，它们都大于，因此猜想，接着用数学归纳法加以证明即可试题解析：（1）当时， 当时， -得： -4分又 故是等比数列-6分（2）猜想：-8分下面用数学的归纳法证明: 当，则成立 假设当时，当时， 即 ，结论也成立由知： -12分考点：等比数列的证明，归纳猜想证明，数学归纳法20.（本小题满分12分）.已知椭圆经过
10、点，离心率 求椭圆的方程；不过原点的直线与椭圆交于两点，若的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知，又椭圆过点，因此有，再结合，联立可解得；（2）这类题解题方法是设直线方程为，把代入椭圆方程整理得，因此有，即，这是很重要的不等式，求的范围就要用它，另外有，这样可得点的坐标为，而点在抛物线上，因此把此坐标代入抛物线方程可得的关系，代入刚才的不等式，就可求出的范围试题解析：(1) -3分(2)设直线，-4分由得-6分0即0 （1）-8分又故将代入得-10分将（2）代入（1）得：解得且即-12分考点：椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系21.
11、（本小题满分12分）己知函数.讨论函数的单调区间；设，当时，若对任意的都有，求实数的取值范围；(3)求证：【答案】（1）当时，递减区间为，递增区间为；当时，递增区间为；当时，递减区间为，递增区间为（2）（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求单调区间，方法求出函数的导数，不等式（或）的解集就是我们要求的单调区间，本题中必须分类讨论两根和的大小（主要是讨论哪个根在上，才能写出结果；（2）本小题关键是对“对任意的都有”的理解转化，可以理解为“当时，”，为了解本题方便，也可以转化为“当时，恒成立”，第二种转化即为“，恒成立”，此不等式又可转化为，因此，这就比较方便求得；（3）这种类型问题，特别是
12、高考中最后的难题，其中的最后一小题，一般都要想办法用到第一小题或第二小题的结论，才能快速正确地求解，当时，由（1）知，单调递增，则时，即，取，则，分别让，得个等式，相加后就可以证明结论.试题解析：（1）当时，递减区间为，递增区间为；当时，递增区间为；当时，递减区间为，递增区间为-4分（2）当时，由（1）知时对任意的都有恒成立即，恒成立即，恒成立即，恒成立令，则，即在上递增，故所以-8分（3）当时，由（1）知，单调递增，则时，即取，则故 上式叠加得：即-12分考点：导数与函数的单调性，不等式恒成立，函数的最值，不等式的证明.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题
13、记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，在正中，点分别在边上，且,与交于点求证：四点共圆；若正的边长为2，求点所在圆的半径 【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证明四点共圆，根据判定定理可证明其对角互补，由于是正三角形，且是相应边上的三等分点，从而有，进一步有，于是有，这样就有，即四点共圆；（2）取边另一个三等分点，可得为正三角形，因此有，这说明就是圆心，就是半径.试题解析：（1）由则在正中，,又故从而 四点共圆（2）取中点,连接,则又,为正三角形即故是过四点的圆心，且半径为考点：四点共圆，圆的半径.23.（本小
14、题满分10分）选修44；坐标系与参数方程已知曲线：，将曲线上的点按坐标变换得到曲线；以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标系方程是写出曲线和直线的普通方程；求曲线上的点到直线距离的最大值及此时点的坐标 【答案】（1），；（2）距离的最大值为；此时点的坐标为【解析】试题分析：（1）由坐标变换得，代入曲线的方程得，用代，代，即得曲线的方程，利用公式可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）把曲线用参数方程表示为，即曲线上的任一点的坐标可表示为，由点到直线距离公式求得点到直线的距离为，再三角函数的性质可得最大值及相应点的坐标.试题解析：（1），.（2）设曲线上的点，则当时，取最大值即距离的最大值为；此时点的坐标为考点：坐标变换，极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，三角函数的性质.24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数解不等式；设函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：函数可化简为，解不等式，可按照绝对值的定义分类讨论去年绝对值符号，分类为三类；（2）本题不等式恒成立，可用结合思想方法求解，函数的图象是折线，的图象是过点的直线，如图，可见当时满足题意.试题解析：（1）原不等式等价于或或解得或即不等式的解集为（2），由其函数图像知：考点：解含绝对值的不等式，不等式恒成立，分类讨论与数形结合思想.
