1、命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.3充分条件、必要条件与充要条件的概念pqp是q的充分条件，q是p的必要条
2、件pq，且qpp是q的充分不必要条件pq，且qpp是q的必要不充分条件pqp是q的充要条件pq，且qpp是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：AB且BA，A的充分不必要条件是B是指：BA且AB，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论1等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件其他情况依次类推2充分、必要条件与集合的子集之间的关系设Ax|p(x)，Bx|q(x)(1)若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件(3)若AB，则p是q的充要条件一、易错易误辨析(正确的打
3、“”，错误的打“”)(1)“x22x30”是命题()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1下列命题是真命题的是()A矩形的对角线相等B若ab，cd，则acbdC若整数a是素数，则a是奇数D命题“若x20, 则x1”的逆否命题A令ac0，bd1，则acbd，故B错误；当a2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x1，则x20，但x1，故D错误2命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A“若xy，则x2y2”B“若xy，则x2y
4、2”C“若xy，则x2y2”D“若xy，则x2y2”C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”故选C.3“(x1)(x2)0”是“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B若x1，则(x1)(x2)0显然成立，但反之不成立，即若(x1)(x2)0，则x的值也可能为2.故选B.4命题“若，则sin ”的逆命题为_命题，否命题为_命题(填“真”或“假”) 假假若，则sin 的逆命题为“若sin ，则”是假命题；否命题为“若，则sin ”是假命题 考点一命题及其关系 判断命题真假的两种方法1命题“若x2y
5、20(x，yR)，则xy0”的逆否命题是()A若xy0(x，yR)，则x2y20B若xy0(x，yR)，则x2y20C若x0且y0(x，yR)，则x2y20D若x0或y0(x，yR)，则x2y20Dx2y20的否定为x2y20，xy0的否定为x0或y0，因此逆否命题为“若x0或y0(x，yR)，则x2y20，”故选D.2给出命题：若a3，则a6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A3B2 C1D0B原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题其逆命题“若a6，则a3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B.3下列命题为假命题的是()A命题“若xy1，则x
6、，y互为倒数”的逆命题B命题“若xy，则x|y|”的否命题C命题“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题D命题“若ABB，则AB”的逆否命题D对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy1”为真命题对于B，逆命题“若x|y|，则xy”为真命题，从而否命题也为真命题对于C，由44m0知，原命题正确，从而逆否命题正确对于D，由ABB知，BA，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D.点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可 考点二充分、必要条件的判定 判断充分、必要条件的三种方法典例1(1)设p：x3，q：1x3，则q是p成立的()A充要条件B充分
7、不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件(2)(2019浙江高考)若a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(3)(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中是真命题的有()A“ab”是“acbc”的充要条件B“ab”是“a2b2”的充分条件C“a5”是“a3”的必要条件D“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件(1)B(2)A(3)CD(1)p：x3，q：1x3，可得qp，而p推不出q.则q是p成立的充分不必要条件故选B.(2)由a0，b0，若ab4，得4ab2，即ab4，充分性成立；当a4，b1时，满足ab
8、4，但ab54，不满足ab4，必要性不成立故“ab4”是“ab4”的充分不必要条件，选A.(3)对于A，当ab时，acbc成立，当acbc，c0时，ab不一定成立，所以“ab”是“acbc”的充分不必要条件，故A不是真命题对于B，当a1，b2时，ab，a2b2，当a2，b1时，a2b2，ab，所以“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件，故B不是真命题对于C，当a3时，一定有a5成立，当a5时，a3不一定成立，所以“a5”是“a3”的必要条件，C是真命题对于D，易知“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D是真命题故选CD.点评：判断充要条件时，要双向推导，说明推不出时，可恰当取特殊
9、值作反例1已知a，b都是实数，那么“3a3b”是“a3b3”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件C3a3baba3b3，反之a3b3ab3a3b，因此3a3b是a3b3的充要条件，故选C.2设xR，则“”是“x31”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由得0x1，由x31得x1，因为0x1x1，但x10x1，所以“”是“x31”的充分不必要条件，故选A. 考点三充分条件、必要条件的探求与应用 1充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件2利用充要条件求参数的两
10、个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍充分条件、必要条件的探求典例21不等式x(x2)0成立的一个必要不充分条件是()Ax(0,2)Bx1，)Cx(0,1)Dx(1,3)B解不等式x(x2)0得0x2，因此x(0,2)是不等式x(x2)0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合x|0x2，故选B.利用充分、必要条件求参数的取值范围典例22已知Px|2x10，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，则
11、m的取值范围为_0,3由xP是xS的必要条件，知SP.又S为非空集合，则0m3.即所求m的取值范围是0,3母题变迁把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围解由xP是xS的充分条件，知PS，则解得m9，即所求m的取值范围是9，)1命题“x1,3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa9Ba9Ca10Da10C由题意知，ax2对x1,3恒成立，则a9.因此a10是命题“x1,3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C.2使a0，b0成立的一个必要不充分条件是()Aab0Bab0Cab1D1Aa0，b0ab0，但ab0a0，b0.因此ab0是a0，b0的一个必要不充分条件，故选A.3设p：1x2；q：(xa)(x1)0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_2，)由题意知x|1x2x|(xa)(x1)0，则a1，即x|1x2x|1xa，从而a2.
