1、邵阳市 2022 届高三第一次联考 数 学 一单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R，集合|13,|24xAxxBx，则UBA等于（）A.1,2 B.1,2 C.1,3 D.,2【答案】B【解析】【分析】由题知|2Bx x，再根据集合补集与交集运算求解即可.【详解】因为|2Bx x，所以U=2Bx x，于是U=12BAxx，故选：B 2.已知i 为虚数单位，复数 z 满足 i1 23i4z，则 z 的共轭复数 z （）A.1 2i B.12i C.2i D.2i 【答案】B【解析】【分析】根据复数的
2、模和除法运算，即可得到答案；【详解】|43i|55(12i)12i12i12i5z 12iz ，故选：B 3.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于 2 的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题它是 1742 年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩若将 14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（）A.313 B.513 C.27 D.37【答案】A【解析】【分析】写出所有的等式，计算基本事件的总数，再计算事件拆成的和式中，加数全部为素数所包含的基本事件，即可得
3、到答案；【详解】141 132 1213 1 ，共有 13 个和式，其中加数全部为素数为77,3 11,11 3，共 3 个基本事件，313P，故选：A 4.已知函数 0,0,1,1xxf xmnmnmn是偶函数，则2mn的最小值是（）A.6 B.4 2 C.8 D.2 2 【答案】D【解析】【分析】有 f xfx可得m、n 的关系，再用均值不等式即可.【详解】因为函数 0,0,1,1xxf xmnmnmn是偶函数，所以 f xfx，xxxxmnmn，xxxxxxmnmnm n 因为0,0,1,1mnmn，所以1xxm n ，即1mn ，22 22 2mnmn，当且仅当22,2mn时取等 故选
4、:D.5.在平行四边形 ABCD 中，1,2,3,4ACBD，则 AB AD（）A.-5 B.-4 C.-3 D.-2【答案】A【解析】【分析】根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；【详解】ACABAD，BDADAB，2222ACABAB ADAD，2222BDADAB ADAD，2222224123420ACBDAB AD，5AB AD ，故选：A 6.国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了 6 个志愿服务小组，分配到 4 个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配 1 个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在 1 个大门进行服务，则不同分配方法种
5、数为（）A.65 B.125 C.780 D.1560【答案】D【解析】【分析】6 个人先分成 4 组，再进行排列，最后用乘法原理得解.【详解】6 人分成 4 组有两种方案：“22 1 1 ”、“3 1 1 1 ”共有22364622CCCA种方法，4 组分配到 4 个大门有44A 种方法；根据乘法原理不同的分配方法数为：22346464221560CCCAA.故选:D.7.双曲线22:13yC x，左右焦点分别为12,F F，过2F 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，12AF F的内切圆圆心为1O，12BFF的内切圆圆心为2O，则四边形1122FO F O 的面积是（）A.8
6、B.6 C.4 D.2 【答案】C【解析】【分析】由题意，得1212OOFF，根据双曲线方程22:13yC x，可得,a b c，从而可表示出122211,F FAFBFAFBF，设圆的半径为 r，利用等面积法计算出 r，从而代入公式121212SO OF F求解面积.【详解】如图，因为圆1O，2O 分别为12AF F与12BFF的内切圆，ABx轴，所以1212OOFF，由题意，1,3ab，所以1224F Fc，由通径可得2223bAFBFa，再由双曲线的定义可知11235AFBF，设圆1O，圆2O 的半径为 r，由等面积法可得12122121122AFAFF FrAFF F，即113543
7、422r ，得1r ，所以1222OOr，故四边形1122FO F O 的面积为1212112 4422SO OF F.故选：C 【点睛】关于三角形内切圆的半径的计算通常采用等面积法，计算出三角形的周长，底边长与高，再利用面积相等列式计算.8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 xR，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 f xx称为高斯函数.已知数列 na满足22a，且1121nnnanan，若lgnnba数列 nb的前 n 项和为nT，则2021T（）A.4950 B.4953 C.4956 D.4959【答案】C【解析】【分析】由题利用累加法可得na
8、n，进而可得lgnbn，分类讨论nb 的取值，即求.【详解】由1(1)21nnnanan，22a 可得11a ，根据累加法可得2112211(1)(1)(2)2nnnnnnananananaaaan 所以nan，故lgnbn，当19n 时，0nb；当1099n时，1nb ；当100999n时，2nb；当10002021n时，3nb，因此202190 900 2 1022 34956T .故选：C.二多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.9.给出下列命题，其中
9、正确的命题有（）A.“”是“sinsin”的必要不充分条件 B 已知命题 P：“0 xR，00e1xx”，则P：“xR，e1xx”C 若随机变量12,3B，则 23E D.已知随机变量23,XN，且 213P XaP Xa，则43a 【答案】BCD【解析】【分析】选项 A：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判断；选项 B：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项 C：利用二项分布的期望公式即可求解；选项 D：利用正态曲线的对称性即可求解.【详解】选项 A：若，则sinsin；若sinsin，则2k，kZ，从而“”是“sinsin”的充分不必要条件，故 A
10、错误；选项 B：由特称命题的否定的概念可知，B 正确；选项 C：因为12,3B，所以 12233E ，故 C 正确；选项 D：结合已知条件可知，正态曲线关于3x 对称，又因为213P XaP Xa，从而2132 3aa ，解得43a，故 D 正确.故选：BCD 10.已知函数 sin0,2f xx 的零点按照由小到大的顺序依次构成一个公差为2 的等差数列，函数 12g xfxfx的图像关于原点对称，则（）A.f x 在 0,2在单调递增 B.12,x xR，1212f xg x C.把 g x 的图像向右平移 8 个单位即可得到 f x 的图像 D.若 f x 在0,a 上有且仅有两个极值点，
11、则a 的取值范围为 711,88【答案】BD【解析】【分析】由已知条件可求得 sin 24fxx，2 sin 2g xx，利用正弦函数的单调性可判断 A；利用函数 f x 和 g x 的值域可判断 B；利用图像平移的规律可判断 C；利用极值点的定义可列出关于 a 的不等式，解之可判断 D.【详解】由题意可知，函数两个相邻的零点之差的绝对值为 2，设函数 f x 的周期为T，则 22T，即T，即2，又0，2，sin 2f xx 1sin 2cos 22 sin 224g xf xfxxxx 又函数 g x 的图像关于原点对称，即 g x 为奇函数，,4kkZ，,4kkZ，又2，4 sin 24f
12、 xx，2 sin 2g xx 对于 A，0,2x，20,x，,32444x，结合正弦函数性质知 f x 在 0,2在不单调，故 A 错误；对于 B，12,x xR，函数1f x的值域为1,1，函数 2g x的值域为2,2，所以 1212f xg x，故 B 正确；对于 C，g x 的图像向右平移 8 个单位得到2 sin 22 sin 284yxx，故 C错误；对于 D，0,xaQ，20,2xa，,22444ax，利用正弦函数的性质知，要使函数 f x 在0,a 上有且仅有两个极值点，则需满足 352242a，解得 71188a，所以a 的取值范围为 711,88，故 D 正确；故选：BD
13、11.双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数eesinh2xxx和双曲余弦函数eecosh2xxx下列结论正确的是（）A.coshsinh1xxx B.sinhsinh coshcosh sinhxyxyxy C.若 ym与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 共有三个交点，分别为123,x x x，则12312xxx D.coshyx是一个偶函数，且存在最小值【答案】ABD【解析】【分析】利用指数的运算、指数函数图像以及双曲正弦、余弦函数的定义可判断各选项的正误.【详解】对于 A 选项，coshsienhxxx，
14、设 e1xg xx，e1xgx，当0 x 时，()0gx，函数 g x 单调递增；所以 00g xg，所以coshsinhe1xxxx，A 选项正确；对于 B 选项，sinh coshcosh sineeeeheeee4xxyyxxyyxyxy eeeeeeeeee42sinhx yx yy xx yx yx yy xx yx yx yxy ，B 选项正确；对于 D 选项，coshyx是一个偶函数且在,0为减函数，0,为增函数，所以0 x 时取最小值 1，D 选项正确.对于 C 选项，函数eesinh2xxx单调递增，且值域为 R，若 ym与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 共有三个交点，
15、则1m ,由双曲余弦函数1C 为偶函数得120 xx，由 ee12xx 得3ln(12)x，所以123ln(12)xxx，C 选项错误.故选：ABD.12.如图，点 P 是棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D的表面上一个动点，则（）A.当 P 在平面11BCC B 上运动时，四棱锥11PAA D D的体积不变 B.当 P 在线段 AC 上运动时，1D P 与11AC 所成角的取值范围是,6 2 C.当直线 AP 与平面 ABCD 所成的角为 45时，点 P 的轨迹长度为4 2 D.若 F 是11AB 的中点，当 P 在底面 ABCD 上运动，且满足 PF 平面11BCD 时，PF 长
16、度的最小值是 5 【答案】AC【解析】【分析】A.由四棱锥的高和底面积判断；B.根据1ADC 是等边三角形判断；C.根据直线 AP 与平面 ABCD 所成的角为45，结合正方体的特征判断；D.建立空间直角坐标系，求得 FP 的坐标进行判断.【详解】A.当 P 在平面11BCC B 上运动时，点 P 到面11AA D D 的距离不变，11AA D DS正方形不变，故四棱锥11PAA D D的体积不变，故 A 正确；B.建立如图所示空间直角坐标系：设,2,0 02P xxx，1112,0,2,0,0,2,0,2,2ADC，则 111,2,2,2,2,0D PxxAC，设1D P 与11AC 所成的
17、角为，则 11111121111coscos,13D P ACxD P ACD PACx，因为011x，当10 x 时，2，当 011x 时，11122111coscos,231311xD P ACxx，则 32，综上：32，所以1D P 与11AC 所成角的取值范围是,3 2，故 B 错误；C.因为直线 AP 与平面 ABCD 所成的角为45，若点 P 在平面11DCC D 和平面11BCC B 内，因为1145,45B ABD AD最大，不成立；在平面11ADD A 内，点 P 的轨迹是12 2AD，在平面11ABB A 内，点 P 的轨迹是12 2AB，在平面1111DCBA时，如图所示
18、：，作 PM 平面 ABCD，因为 45PAM，所以 PMAM，又 PMAB，所以 AMAB，则1APAB，所以点 P轨迹是以1A 为圆心，以2 为半径的四分之一圆，所以点 P 的轨迹长度为 1224，所以点 P 的轨迹总长度为长度为4 2，故 C 正确；D.建立如图所示空间直角坐标系：设,0 0,2P x yx y，112,2,2,0,0,2,0,2,0BDC，则 112,0,2,0,2,2CBCD，2,1,2FPxy，设平面11CB D 的一个法向量为,na b c，则 1100CD nCB n，即 220220bcac，令 1a，则 1,1,1n r，因为/PF平面11BCD，所以 21
19、20FP nxy，即 1yx，所以 22222142482166FPxyxxx，当 1x 时，等号成立，故 D 错误；故选：AC.三填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知3,2，1tan42，则cos _【答案】1010【解析】【分析】利用两角差的正切公式，可以求出 tan，根据同角三角函数的关系，结合3,2，可以求出cos 的值.【详解】1tan42，tan111tan2，解得 tan3，3,2，22sincos1 sintan3cos，解得10cos10 .故答案为：1010 14.61 21xx的展开式中3x 项的系数为_【答案】10【解析】【详解】61
20、21xx的展开式中含3x 的项为：32323661210Cxx Cxx，61 21xx的展开式中3x 项的系数为 10，故答案为：10 15.已知O 为坐标原点，过点,00M aa 的直线与抛物线220ypx p交于,A B 两点，设直线,OA OB的斜率分别为12,k k，若1 22k kp，则a 的值为_【答案】1【解析】【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，消元，写韦达；然后根据条件1 22k kp，即可求出 a 的值.【详解】因为直线过点,0M a，所以设直线方程为 xmya，1122,A x yB x y，由22xmyaypx，得2220ypmypa，所以122y ypa，又因为点
21、 1122,A x yB x y在抛物线上，所以2211222,2ypx ypx，所以22212124y yp x x，即22121212442y yppx xy ypa，即12122y ypx xa，因为1 22k kp，所以121222y yppx xa，即1a.故答案为：1.16.已知,a b c 是平面向量，a 与 c 是单位向量，且,2a c，若28150bb c，则 abrr的最小值为_【答案】171 【解析】【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定 abrr的最小值.【详解】如下图所示，设35OAaOBbOCcODcOEc，28150 bb
22、 c 且1ac 228150 bb cc 350bcbc 35bcbc 35 DBbc EBbc，点 B 在以 F 为圆心，DE 为直径的圆上 又BAab 当点 B 为圆 F 和线段 FA 的交点的时候，BAab最短 22411171 ab 故答案为：171 四解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.在 ABC中，若边,a b c 对应的角分别为,A B C，且3 sincoscaCcA（1）求角 A 的大小；（2）若3,1cb，2BDDC，求 AD 的长度【答案】（1）3A （2）193【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用辅助角公式
23、得到1sin62A，即可求出 A；（2）依题意可得1233ADABAC，再根据平面向量数量积的运算律求出 AD，即可得解；【小问 1 详解】解：因为3 sincoscaCcA，由正弦定理可得sin3sinsinsincosCACCA 在 ABC，sin0C，3sincos1AA 2sin16A，即1sin62A 又0,A，5,666A 66A，3A【小问 2 详解】解：ADABBD且2BDDC，212333ADABBCABAC，22221214419313 1 cos3399939ADABAC 193AD 18.已知数列 na的前n 项和为nS，12a，且12 21nnSSn，nb是公差不为
24、0 的等差数列，且124,b b b 成等比数列，2104,a ba 成等差数列（1）求 ,nnab的通项公式；（2）若122111 lognnnnncba，求 nc的前2n 项和2nT 【答案】（1）2nna；nbn （2）221nn 【解析】【分析】（1）由已知列式解方程组可得解.（2）裂项求和即可.【小问 1 详解】当2n，112222nnnnSSSS，两式相减可得122nnaan 由112Sa，代入122nnSS 可得226,4Sa，满足212aa，所以*12,nnnaa nNa 为等比数列，2nna，不妨设等差数列 nb公差为d，由条件可得 221 41024,2bbbbaa，即 2
25、11113294 16bdb bdbd，解得11,1bd，所以111nbnn 【小问 2 详解】由（1）可知1121111111nnnncn nnn 21232nnTcccc 1111111122334221nn 1212121nnn.19.如图，在空间几何体 ABCDE 中，已知,ABCACD BCE 均为边长为 2 的等边三角形，平面 ACD 和平面 BCE 都与平面 ABC 垂直，H 为 AB 的中点 （1）证明：ED平面 ABC；（2）求直线 DH 与平面 ACE 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）155【解析】【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P，连接,DO
26、EP OP，EPDO且 EPDO=，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接 BO，则易知 BO 平面 ACD，以O 为坐标原点，分别以,OD OA OB 的方向为,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，求出向量133,22DH uuur及平面ACE 的法向量1,0,2m ，代入夹角公式，即可得到答案；【小问 1 详解】证明：分别取,AC BC 的中点,O P，连接,DO EP OP，因为 ADCD，所以 DOAC，又平面 ACD 平面 ABC，平面 ACD平面 ABCAC，DO 平面 ACD，所以 DO 平面 ABC，同理 EP 平面 ABC，所以 EPDO，
27、又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以 EPDO，所以四边形 DOPE 是平行四边形，所以 DEOP，因为 ED 平面 ABC，OP 平面 ABC，所以 ED平面 ABC；【小问 2 详解】连接 BO，则易知 BO 平面 ACD，以O 为坐标原点，分别以,OD OA OB 的方向为,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则13130,1,0,0,1,0,3,0,0,3,0,2222ACDEH，所以33130,2,0,3,3,2222ACAEDH，设平面 ACE 的法向量为,mx y z，所以00m ACm AE，所以20333022yxyz 则0y，取2z，则1
28、,0,2m ，所以2 315cos,52 5DH mDH mDH m，设直线 DH 与平面 ACE 所成的角为，则15sincos,5DH m 20.2021 年东京奥运会，中国举重代表队共 10 人，其中主教练、教练各 1 人，参赛选手 8 人，赛后结果 7 金 1 银，在全世界面前展现了真正的中国力量；举重比赛根据体重进行分级，某次举重比赛中，男子举重按运动员体重分为下列十级：级别 54 公斤级 59 公斤级 64 公斤级 70 公斤级 76 公斤级 体重 54 54.0159 59.0164 64.0170 70.0176 级别 83 公斤级 91 公斤级 99 公斤级 108 公斤级
29、108 公斤级以上 体重 76.0183 83.0191 91.0199 99.01108 108 每个级别的比赛分为抓举与挺举两个部分，最后综合两部分的成绩得出总成绩，所举重量最大者获胜，在该次举重比赛中，获得金牌的运动员的体重以及举重成绩如下表 体重 54 59 64 70 76 83 91 99 106 举重成绩 291 304 337 353 363 389 406 421 430 （1）根据表中的数据，求出运动员举重成绩 y 与运动员的体重 x 的回归直线方程（保留 1 位小数）；（2）某金牌运动员抓举成绩为 180 公斤，挺举成绩为 218 公斤，则该运动员最有可能是参加的哪个级别
30、的举重？（3）凯旋回国后，中央一台记者从团队的 10 人中随机抽取 3 人进行访谈，用 表示抽取到的是金牌得主的人数，求 的概率分布列与数学期望 参考数据：992112620,7076iiiiixxxxyy；参考公式：121,niiiniixxyybaybxxx【答案】（1）2.755 41.yx （2）参加的应该是 91 公斤级举重 （3）分布列见解析；期望为 2.1【解析】【分析】（1）依题意，计算出,x y，由公式求得 ,b a，由此求得回归方程（2）根据回归方程得：3982.7155.4x，解之可判断.（3）随机变量 的取值为 0，1，2，3，求出对应概率，列出分布列，利用期望公式即可
31、得解.【小问 1 详解】依题意，54596470768391 99 106789x，291 3043373533633894064214303669y，12170762.702620niiiniixxyybxx$，则3662.7 78155.4aybx，故回归方程为：2.755 41.yx；【小问 2 详解】该运动员的抓举和挺举的总成绩为 398 公斤，根据回归方程可知：3982.7155.4x，解得89.9x，即该运动员的体重应该在 90 公斤左右，即参加的应该是 91 公斤级举重；【小问 3 详解】随机变量 的取值为 0，1，2，3则 037331010120C CPC，127331071
32、40C CPC，217331021240C CPC，30733107324C CPC，所以随机变量 的概率分布列为：0 1 2 3 P 1120 740 2140 724 所以随机变量 的数学期望为 1721701232.1120404024E 21.已知圆22:116Mxy，点1,0N，P 是圆 M 上一动点，若线段 PN 的垂直平分线与线段 PM 相交于点 E （1）求点 E 的轨迹方程；（2）已知、ABC 为点 E 的轨迹上三个点（、ABC 不在坐标轴上），且0OAOBOC，求ABCS的值【答案】（1）22143xy （2）92【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，结合题意即可求解；（2
33、）由题意可知O 为 ABC 的重心，则有3ABCOABSS，只需求三角形OAB 面积即可，根据直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到线的距离公式和已知条件可求出三角形OAB 的底 AB 和高d 的长，即可得解.【小问 1 详解】由已知有4EMENEPEMMN，点 E 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，其中24,22ac，2,1,3acb，点 E 的轨迹方程22143xy【小问 2 详解】由0OAOBOC，可知O 为 ABC 的重心，3ABCOABSS，由已知 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为：ykxm，112233,A x yB xyC x y，由22222143843043x
34、ykxkmxmykxm，则2121222438,4343mkmxxx xkk，2222222816 43348 430430kmkmkmkm 2121212122643myykxmkxmkx xkm xxmk，由31228043kmOAOBOCxxxk，3122643myyyk ，222222228614344 433 43kmmkmkk，222212224 3 4311,431kmmABkxxkdkk ，222224 3 4311122431OABkmmSAB dkkk 222222222 3432 3434342mkmmmmkm 932ABCOABSS 22.已知函数 2ln,f xxax
35、 aR（1）讨论函数 f x 的零点个数；（2）若函数 f x 存在两个不同的零点12,x x，证明：1 2x xe【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数 f x 进行求导，然后对 a 进行分类讨论，便可得到函数 f x 零点的个数;（2）利用（1）的结论，便可知函数在2ae时有两个零点，再构造一个新函数，可将双变量变为单变量，对该新函数进行研究即可.【小问 1 详解】因为 2220axafxxxxx 当0a，0fx，函数 f x 在区间0,单调递增，（i）0a 时，函数 f x 在0,上无零点；（ii）0a，由0 x 时，f x ，20f eea，f x
36、在0,只有一个零点；当0a 时，函数 f x 在区间 0,2a上单调递减，在区间,2a上单调递增；（注意0 x 时，f x ，x 时，f x ）所以 ln1 ln22222aaaaafxfa，（i）02af 即02ea时，f x 无零点；（ii）02af ，即2ae时，f x 只有一个零点；（iii）02af 即2ae时，f x 有两个零点；综上所述，当0a 或2ae时，f x 在只有一个零点；当02ae时，f x 无零点；当2ae时，f x 有两个零点；方法二：0a 时，函数 2f xx在0,上无零点；0a 时，由 21ln0 xfxax，令 2ln xg xx，则 312ln0 xgxxx
37、，由 312ln0 xgxxex，则0,xe时，g x 单调递增，,xe时，g x 单调递减，则 12g xgee，做出简图，由图可知：（注意：0 x 时，g x ，x 时 0g x）当 10a 或 12ea，即0a 或2ae时，21ln xax只有一个根，即 f x 在0,只有一个零点；当1102ae时，即2ae时，21ln xax有两个根，即 f x 在0,有两个零点；当 112ae时，即02ea时，21ln xax无实根，即 f x 在0,无零点；综上所述，当0a 或2ae时，f x 在只有一个零点；当02ae时，f x 无零点；当2ae时，f x 有两个零点；【小问 2 详解】由（1）
38、可知2ae时，f x 有两个零点，设两个零点分别为12,x x，且210 xx，由 21112222ln00ln0 xaxf xf xxax，即211222lnlnxaxxax，所以222212122121lnln,lnlnxxaxxxxaxx，即222121122221lnlnlnlnxxxxxxxx 要证明1 2x xe，即证12lnln1xx，需证2221122221lnln1xxxxxx，再证2221212221lnlnxxxxxx，然后证221221211ln01xxxxxx ，设21xxx，则1x，即证221ln01xxx，即22ln101xx，令 22ln111h xxxx，则 22222222222141140111xxxxh xxxx xx x，故函数 h x 在1,上单调递增，所以 10h xh，即有22ln101xx，所以1 2x xe
