1、第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第1课时 不等关系与比较大小 必备知识自主学习 1.不等式的相关概念(1)不等号:,;(2)不等式:由不等号表示的关系式.导思1.我们学过的不等号有哪些?什么是不等式?2.初中学过在数轴上表示大小,那两个实数比较大小还有别的方法吗?【思考？】(1)“”的含义是什么?提示:b或a=b,等价于“a不小于b”,即若ab或a=b中有一个正确,则ab正确.不等式ab应读作:“a小于或等于b”,其含义是ab或a=b,等价于“a不大于b”,即若ab?提示:证明a-b是正数,即a-b0.如果a-b是正数,那么ab a-b0ab 如果a-b等于零,那么a=b a-b=0
2、a=b 如果a-b是负数,那么ab a-b0ab【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)不等关系“不大于3”用不等式表示为x1,则ab.()提示:(1).用不等式表示为x3.(2).不等式55表示5=5或55,因为5=5成立,所以不等式55成立.(3).如 =21,但是-2-1.ab212.(教材二次开发:习题改编)大桥桥头竖立的“限重60吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为()A.T60 C.T60 D.T60【解析】选C.“限重60吨”即为T60.3.已知x1,则x2+2与3x的大小关系为 .【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),
3、而x1,所以x-20,x-10,所以x2+23x.答案:x2+23x 关键能力合作学习 类型一 利用不等式表示不等关系(数学抽象、数学建模)【题组训练】1.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,使汽车速度v不超过 40 km/h,用不等关系表示速度的限制为 .2.某工厂8月份的产量比9月份的产量少;甲物体比乙物体重;A容器不小于B容器的容积,若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为 ;.3.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.【
4、解题指南】抓住题干中的关键词,如:不超过、不小于等写出不等式.【解析】1.“不超过”即“小于或等于”,所以v40 km/h.答案:v40 km/h 2.注意理解题目中的关键词语,并转化为不等关系,8月份的产量比9月份的产量少可表示为ab;A容器不小于B容器的容积可表示ab.答案:ab ab 3.图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S1,则S1=,图(2)面积为S2,则S2=ab,所以 a2+b2ab.22ab221212【解题策略】1.将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常
5、见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言大于,高于,超过小于,低 于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号 语言a0),若再加入m克糖(m0),搅拌糖融化后,糖 水更甜了,将这个事实用一个不等式表示为 .【解析】因为b克糖水中含a克糖(0a0)克糖,则此时的“甜度”是 ,又因为糖水会更甜,所以 .答案:2 200,即 96(x+20)2 200.原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间”,写成不等式 为8x9(x-12).答案:96(x+20)2 200 8x9(x-12)类型二 用不等式组表示不等关系
6、(数学抽象、数学建模)【典例】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路导引】甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数;车队每天至少要运360 t矿石;甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,xy910 6x6 8y3600 x4 0y7xy ，则，NNxy95x4y300 x40y7xy.?，即，NN【解题策略】用不等式组表示不等关系的三注意 (1)适用条件:
7、当问题中同时满足几个不等关系时,应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,则选用几个字母分别表示这些变量即可.(2)全:解决这类有多个不等关系的问题时,要注意根据题设将所有不等关系都找出来.(3)读:若有表格、图象等,读懂表格、图象对解决这类问题很关键.【跟踪训练】1.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为 .【解析】根据题意得:答案:30 x121330 x213x*.，N30 x121330 x213x*，N2.某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下,生产
8、空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如表:若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.家电名称 空调 彩电 冰箱 工时(h)121314【解析】由题意,知x0,y0,每周生产冰箱(120-x-y)台.因为每周所用工时不超过40 h,所以 x+y+(120-x-y)40,即3x+y120.又每周至少生产冰箱20台,所以120-x-y20,即x+y100.所以满足题意的不等式组为 1213143xy120 xy100 xy.，NN【拓展延伸】列不等式组表示不等关系 (1)关注限制条件:实际应用问题中往往有2到3个限制条件,应先分析这些限制条
9、件,并用不等式表示;(2)关注变量范围:要根据实际问题的意义确定变量的范围,并在不等式组中表示出来.【拓展训练】有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.【解析】设宿舍x间,则学生(4x+19)人,依题意 解得 .因为xN*,所以x=10,11或12,学生人数为:59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人.4x196x4x196x1，（），1925x22【补偿训练】1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于 380分,体育成绩z超过45分,用
10、不等式组表示为 .【解析】“不低于”即“”,“高于”即“”,“超过”即“”,所以 答案:x95y380z45.，x95y380z45，2.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越 来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 (kN*),已知一个 铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长 的 ,请从这个实例中提炼出一个不等式组为 .1k47【解析】依题意得第二次钉子没有全部进入木板第三次全部进入木板所以 (kN*).答案:(kN*)244 k 177444177k7k，244 k 177444177k7k，类型三 比较大小(逻辑推
11、理、数学运算、数学建模)角度1 作差法比较大小 【典例】若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)g(x)D.随x值变化而变化【思路导引】作差,根据差的正负判断.【解析】选C.f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+10,所以f(x)g(x).【变式探究】本例中若g(x)=3x2+x,试比较f(x)与g(x)的大小关系.【解析】f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(3x2+x)=-2x+1,当-2x+10,xg(x);当-2x+1=0,x=时,f(x)=g(x);当-2x+1 时,
12、f(x)0,b0且ab,比较aabb与 的大小.【思路导引】作商,利用指数运算的性质变形,判断商与1的关系.a b2(ab?）【解析】因为a0,b0且ab,所以 当 ab0时,此时aabb ;当 ba0时,此时aabb ,综上所述aabb .a b2aaba10()1b2b，a bb aa bab222a b2a baab()bab，a b2aba b2aaba10()1b2b，a b2aba b2ab【解题策略】1.关于作差法比较大小 对差式的变形是判断差式正负的关键,常用的变形有配方、通分、因式分解、分母有理化等.2.关于作商法比较大小 多用于指数式的比较,对商式一般利用指数的运算性质,通
13、过约分、化同次等方法,比较与1的大小.【题组训练】1.已知a0,b0,且ab,比较 与a+b的大小.【解析】因为 -(a+b)=(a2-b2)=(a2-b2)=,又因为a0,b0,ab,所以(a-b)20,a+b0,ab0.22abba22ab()ba222222ababbabababa11()baabab 2ababab所以 -(a+b)0,所以 a+b.22ab()ba22abba2.设a0,b0,且ab,试比较aabb,abba的大小.【解析】因为 =aa-bbb-a=,(1)若0ab,则0 1,a-b1,(2)若0b1,a-b0;故 1,所以aabbabba.abbaa ba ba b
14、a()baba ba()baba ba()b【拓展延伸】作差法比较大小的一般步骤 第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.【拓展训练】已知a,b为正实数,试比较 与 的大小.【解题指南】注意结构特征,尝试用作差法或者作商法比较大小.abbaab【解析】方法一:(作差法)=ab()abba（）【补偿训练】(1)已知abc0,试比较 的大小;(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.acbcb
15、a与【解析】(1)=因为abc0,所以a-b0,ab0,a+b-c0.所以 (2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=.因为 0,所以 0,所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)0,所以2x2+5x+3x2+4x+2.acbcaacbbcbaab（）（）2222aacbbcababcabab（）ababc.ab（）（）ababcacbc0.abba（）（），即213(x)2421(x)2213(x)2434课堂检测素养达标 1.(教材二次开发:习题改编)已知a,b分别对应数轴上的A,B两点坐标,且A在原点右侧,B在原点的左侧,则下列不等式成立的是()A.a-b0 B.
16、a+b|b|D.a-b0【解析】选D.a0,b0.2.已知aR,p=a2-4a+5,q=(a-2)2,则p与q的大小关系为()A.pq B.pq C.pq【解析】选D.p-q=a2-4a+5-(a-2)2=10,所以pq.3.某地规定本地最低生活保障金x元不低于1 000元,则这种不等关系写成不等式为 .【解析】因为最低生活保障金x元不低于1 000元,所以x1 000.答案:x1 000 4.某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本,若把提价后杂志的单价设为x元,表示销售的总收入不低于20万元的不等式为 .【解析】由
17、题意,销售的总收入为 x万元,所以“销售的总收入不 低于20万元”用不等式可以表示为 x20.答案:x20 x2.5(80.2)0.1x2.5(80.2)0.1x2.5(80.2)0.1【新情境新思维】已知函数f(x)=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系为 .【解析】f(1)=5+c,f(2)=12+c,则cf(1)f(2).答案:cf(1)f(2)课时素养评价 十六 不等关系与比较大小【基础通关】(20分钟 35分)1.下列说法正确的是()A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“xy”C.某变量x至少是a可表示为“xa”D.某变量y不超过a可表示为“ya”【解析】
18、选C.对于A,x应满足x2 000,故A不正确;对于B,x,y应满足xN B.M0,所以M=2x+11,而x2+11,所以 1,所以MN.211x3.某服装制造商有10 m2的棉布料,10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料,做一条裤子需 要1 m2的棉布料,2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料,做一条裙子需要1 m2的棉布料,1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料,若生产裤子x条,裙子y条,则生产这两种服装所满 足的不等关系为()xy10 xy102xy102xy10A.B.xy6xy6xyNxyNxy10 xy102xy10C.2xy10 D.xy6xy6xyN，【解析】选A.生产裤子x条,裙子y条
19、(x,yN),则根据条件建立不等式组为 .xy102xy10 xy6xyN ，4.设a=,则a,b的大小关系为 .32 2b27，【解析】因为a=,所以a2=11+4 ,b2=11+4 ,所以a2b2,所以a,b的大小关系为ab.答案:axyz且x,y,zN*.(1)若z=4,则8xy4,所以当x=7时y取最大值6;(2)当z=1时,满足2xy1的正整数不存在;当z=2时,满足4xy2的正整数不存在;当z=3时,满足6xy3的正整数为x=5,y=4.所以该学习小组人数的最小值为3+4+5=12.答案:(1)6(2)12 6.比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.【解析】2(a2+b2+
20、c2)-2(ab+bc+ca)=(a2+b2-2ab)+(a2+c2-2ca)+(b2+c2-2bc)=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2.因为(a-b)20,(a-c)20,(b-c)20,所以(a-b)2+(a-c)2+(b-c)20,所以2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时等号成立).【补偿训练】若a1,比较 的大小.a1aaa1 与【解析】因为 a1aaa1 11a1aaa1 aa 1a1aa1aaa 1 （）（）（）a1a10,a1aaa1 （）（）a1aaa1.所以【能力进阶】(20分钟 40分)一、选择题(
21、每小题5分,共20分)1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台智能学习机,他现在已存60元.计划从现 在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可 以用于计算所需要的月数x的不等式是()A.30 x-60400 B.30 x+60400 C.30 x-60400 D.30 x+40400【解析】选B.设x个月后所存的钱数为y,则y=30 x+60,由于存的钱数不少于400元,故不等式为30 x+60400.2.将一根长5 m的绳子截成两段,已知其中一段的长度为x m,若两段绳子长度之 差不小于1 m,则x所满足的不等关系为()A.B.C.2x-51或5-2x1
22、D.2x510 x5 52x10 x5 2x510 x5 【解析】选D.由题意,可知另一段绳子的长度为(5-x)m,因为两段绳子的长度之 差不小于1 m,所以 ,即 .2x510 x5|x5x|10 x5（）3.已知a0,那么下列不等式中一定成立的是()A.b-a|b|C.a2ab D.11ab【解析】选D.若a0,则-a0,则b-a0,故A错误,|a|b|不一定成立,故B错误,a2ab,故C错误,0,则 ,成立,故D正确.11ab1b1a4.若对任意正数x,均有2a-11+x成立,则实数a的取值范围是()A.(-,1 B.(-,1)C.(-,D.(-,)1x1x【解析】选A.由题意得2a-1
23、1,得a1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.某种植物适宜生长在1820 的山区,已知山区海拔每升高100 m,气温下降0.55.现测得山脚下的平均气温为22,用不等式表示该植物种在山区适宜的高度为 (不求解).【解析】设该植物适宜的种植高度为x m,由题意,得 1822-20.答案:1822-20 0.55x1000.55x1006.已知0a ,且M=则M,N的大小关系是 .1b11abN1 a1 b1 a1 b，【解析】因为0a0,1+b0,1-ab0,所以M-N=0,即MN.答案:MN 1b1 a1 b1 a1 b22ab1a1b【补偿训练】若m2,则mm与2m的大小关系是 .【解析】因为 又m2,所以 1,所以 1,又2m0,故mm2m.答案:mm2m mmmmm22，m2mm2三、解答题 7.(10分)两种药片的有效成分如表所示:药片阿司匹林/mg小苏打/mg可待因/mgA(1片)251B(1片)176若要求至少提供12 mg阿司匹林,70 mg小苏打和28 mg可待因,求两种药片的数量应满足怎样的不等关系?用不等式的形式表示出来.【解析】设提供A药片x片,B药片y片,由题意可得 2xy125x7y70 x6y28xNyN.，
