1、课时提升作业(二十五)几类不同增长的函数模型 一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列函数中,自变量x充分大时,增长速度最慢的是()A.y=6xB.y=log6xC.y=x6D.y=6x【解析】选B.根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数增长的特点可知,自变量x充分大时,y=log6x的增长速度最慢.2.(2014黄山高一检测)某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是()A.y=2x-2B.y=C.y=log2xD.y=(x2-1)【解析】选D.当x=6.1
2、2时,A中y=26.12-2=10.24,B中y=1,C中y=log26.123,D中y=(6.122-1)18.23,所以拟合程度最好的是y=(x2-1).3.(2014佛山高一检测)四人赛跑,其跑过的路程f(x)与时间x的函数关系分别如四个选项所示.如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系为()A.f1(x)=B.f2(x)=xC.f3(x)=log2(x+1)D.f4(x)=log8(x+1)【解析】选B.函数f1(x)=,f3(x)=log2(x+1)和f4(x)=log8(x+1)的增长速度越来越慢,函数f2(x)=x增长速度不变,所以最终跑在最前面的人具有的函数关系为f
3、2(x)=x.4.(2014嘉峪关高一检测)某工厂10年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法:前五年中产量增长的速度越来越快;前五年中产量增长的速度越来越慢;第五年后,这种产品停止生产;第五年后,这种产品的产量保持不变;其中说法正确的是()A.B.C.D.【解析】选C.由t0,5的图象联想到幂函数y=x(01时,甲走在最前面;当x1时,乙走在最前面;当0x1时,丁走在最后面;丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.其中,正确结论的序号为(把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).【解析】错误.因为f1(2)=22-1=
4、3,f2(2)=22=4,所以f1(2)f2(5),所以x=5时,甲在乙的前面.正确.当0x1时,f1(x),f2(x)的图象在f3(x)图象的下方,f4(x)的图象在f3(x)图象的上方.正确.当0x1时,丙在丁前面,在甲、乙后面,x=1时,甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.正确.指数函数增长速度越来越快,x充分大时,f1(x)的图象必定在f2(x),f3(x),f4(x)上方,所以最终走在最前面的是甲.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你
5、认为哪个符合?并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7【解析】据表中数据作出散点图如图.由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.不妨将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.11.(2014临沂高一检测)某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每枝0.5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一本软皮本赠送一枝铅笔.(2)按总价的92%付款.现要买软皮本4本,铅笔若干枝(不少
6、于4枝),若购买x枝铅笔,付款为y元,试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?【解题指南】根据两种优惠办法分别计算出每种中y与x之间的关系式,然后比较大小即可.【解析】由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为y=24+0.5(x-4)=0.5x+6(x4且xN).由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y=(0.5x+24)92%=0.46x+7.36(x4且xN).令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34.当4x34,xN时,0.5x+634,xN时,0.5x+60.46x+7.36.即当购买铅笔少于34枝(不少于4枝)时,用优惠办法(1)合算
7、;当购买铅笔多于34枝时,用优惠办法(2)合算;当购买铅笔34枝时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如表:x123y137则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是()y=2x-1;y=x2-1;y=2x-1;y=x2-x+1.A.B.C.D.【解析】选B.将x=1,y=1;x=2,y=3;x=3,y=7三组数据代入4个函数关系式检验,可知能表达所给关系.2.为适应社会发展的需要,国家降低某种存款利息,现有四种降息方案:先降息p%,后降息q%;先降息q%,后降息p%;先降息%,再降息%;一
8、次性降息(p+q)%,其中pq,上述四种方案中,降息最少的是()A.B.C.D.【解题指南】利用特殊值法,代入特殊值验证.【解析】选C.特值法:不妨取p=20,q=40,验证即可.3.(2014武汉高一检测)某天清晨,小明同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温为37),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小明这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是()【解析】选C.观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了
9、”,综上,只有C是正确的.【变式训练】一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示,某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:0点到3点只进水不出水;3点到4点不进水只出水;4点到6点不进水不出水,则一定正确的是(填序号).【解析】由甲、乙两图可知,进水速度是出水速度的,所以0点到3点只进水不出水.3点到4点有一个进水口进水,一个出水口出水.4点到6点,两个进水口和一个出水口可以同时进水和出水或者两个进水口和一个出水口不进水也不出水.因此一定正确的是.答案:4.(2014长沙高一检测)某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表:网络月
10、租费本地话费长途话费甲:联通130网12元每分钟0.36元每6秒钟0.06元乙:移动“神州行”卡无每分钟0.6元每6秒钟0.07元(注:本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费)若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍,且每月通话时间(分钟)的范围在区间(60,70)内,则选择较为省钱的网络为()A.甲B.乙C.甲乙均一样D.分情况确定【解析】选A.设长途电话时间为x分钟,则本地电话时间为5x分钟,则606x70,故10x1.310-12=10,所以y2y1,所以甲省钱.【误区警示】解答本题易忽视通话时间取值范围的分析以及作差比较法的应用.二、填空题(每小题5分,共10分)5
11、.以下是三个函数y1,y2,y3随x的变化的函数值列表:x12345y1392781243y2182764125y300.630 911.261 91.465 0x678y17292 1876 561y2216343512y31.630 91.771 21.892 8其中关于x成指数函数变化的函数是.【解析】指数函数中的增长量是成倍增加的,函数y1中增长量分别为6,18,54,162,486,1458,4374,是成倍增加的,因而y1呈指数变化.答案:y16.已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,两个函数随x的变化的函数值如下表.x012345678910f(x)12481632641282
12、565121 024g(x)01827641252163435127291 000试比较下列各组数的大小(在横线上填写“”“g(x),当x=2,3,4,5,6,7,8,9时f(x)g(x),所以1x12,9x210,从图象可知,当x1xx2时f(x)g(x),当0xx2时f(x)g(x),所以f(0.19)g(0.19),f(5.1)g(2014).答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014阜阳高一检测)有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个
13、月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.(1)设在甲中心健身活动x(15x40)小时的收费为f(x)元,在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元,试求f(x)和g(x).(2)问:选择哪家比较合算?为什么?【解析】(1)f(x)=5x,15x40,g(x)=(2)当5x=90时,x=18,即当15x18时,f(x)g(x);当x=18时,f(x)=g(x),当18g(x);所以当15x18时,选甲比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18x40时,选乙比较合算.8.(2014福州高一检测)某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该产品
14、的产量平稳增长.记2008年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=+a.(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数).(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2014年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2014年的年产量.【解析】(1)符合条件的是f(x)=ax+b,若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x
15、+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f(x)=lox+a,则f(x)是减函数,与已知不符合.由已知得解得所以f(x)=x+,xN.(2)2014年预计年产量为f(7)=7+=13,2014年实际年产量为13(1-30%)=9.1(万件).【变式训练】(2013广州高一检测)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元,且乙厂在2月份的利润是8万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型:f(x)=a1x2-4x+6,g(x)=a23x+b2(a1,a2,b2R).(1)求函数f(x)与g(x)的关系式.(2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润.【解析】(1)依题意:由f(1)=6,解得a1=4,所以f(x)=4x2-4x+6.由有解得a2=,b2=5,所以g(x)=3x+5=3x-1+5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f(5)=86万元,乙厂在今年5月份的利润为g(5)=86万元,故有f(5)=g(5),即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等.
