1、题型练5大题专项(三)统计与概率问题题型练第58页1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手两名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有两名种子选手,且这两名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解:(1)由已知,有P(A)=C22C32+C32C32C84=635.所以,事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=C5kC34-kC
2、84(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望E(X)=1114+237+337+4114=52.2.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
3、(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第k类电影得到人们喜欢,用“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(1),D(2),D(3),D(4),D(5),D(6)的大小关系.解:(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为2000.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.250.8+0
4、.750.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:k=0,第k类电影没有得到人们喜欢,1,第k类电影得到人们喜欢,则k显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:110P0.40.6D(1)=0.40.6=0.24;第二类电影:210P0.20.8D(2)=0.20.8=0.16;第三类电影:310P0.150.85D(3)=0.150.85=0.1275;第四类电影:410P0.250.75D(4)=0.250.75=0.1875;第五类电影:510P0.20.8D(5)=0.20.8=0.16;第六类电影:610P0.10.9D(6)=0.10.9=0.09.
5、综上所述,D(1)D(4)D(2)=D(5)D(3)D(6).3.2018年在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.会后,央视媒体平台,收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”,其作者年龄集中在25,85之间,根据统计结果,作出频率分布直方图如下:(1)求这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)由频率分布直方图可以认为,作者年龄X服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求P(60X73.4);央视媒体平台从年龄在45,55和
6、65,75的作者中,按照分层抽样的方法,抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言者的年龄落在区间45,55的人数是Y,求变量Y的分布列和数学期望.附:18013.4,若XN(,2),则P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5.解:(1)这100位作者年龄的样本平均数x和样本方差s2分别为x=300.05+400.1+500.15+600.35+700.2+800.15=60,s2=(-30)20.05+(-20)20.1+(-10)20.15+00.35+1020.2+2020.15=180.(2)由(1)知,XN(60,
7、180),从而P(60X73.4)=12P(60-13.4X60+13.4)0.34135.根据分层抽样的原理,可知这7人中年龄在45,55内有3人,在65,75内有4人.故Y可能的取值为0,1,2,3.P(Y=0)=C30C43C73=435,P(Y=1)=C31C42C73=1835,P(Y=2)=C32C41C37=1235,P(Y=3)=C33C40C73=135.所以Y的分布列为Y0123P43518351235135所以Y的数学期望为E(Y)=0435+11835+21235+3135=97.4.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中
8、抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C4kC33-kC73(k=0,1,2,3).
9、所以,随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)=0135+11235+21835+3435=127.设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B+C,且B与C互斥.由知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B+C)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A发生的概率为67.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,
10、出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解:(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,得P(X=10)=C311211-122=38,P(X=20)=C321221-121=38,P(X=100)=C331231-120=18,P(X
11、=-200)=C301201-123=18.所以X的分布列为X1020100-200P38381818(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-183=1-1512=511512.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X的数学期望为E(X)=1038+2038+10018-20018=-54.这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.在某个春晚分会场,演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热
12、服,在寒气逼人的零下20 春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作:从石墨中分离出石墨烯,制成石墨烯发热膜,再把石墨烯发热膜铺到衣服内.(1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料供选择,研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验,成功28次;对附着在B材料上再结晶做了30次试验,成功20次.用22列联表判断:能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为试验是否成功与材料A和材料B的选择有关?A材料B材料成功不成功(2)研究人员得到石墨烯后,再制作石墨烯发热膜有四个环节:透明基底及UV胶层;石墨烯层;银浆线路;表面封装层.前三
13、个环节每个环节生产合格的概率均为12,每个环节不合格需要修复的费用均为200元;第四环节生产合格的概率为23,此环节不合格需要修复的费用为100元,问:一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解:(1)列表A材料B材料合计成功282048不成功21012合计303060K2的观测值k=60(2810-220)230304812
14、6.77.879,所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下,不能认为试验是否成功与材料A和材料B的选择有关.(2)设X为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用,则X的可能取值为0,100,200,300,400,500,600,700.P(X=0)=12323=112,P(X=100)=12313=124,P(X=200)=C311-1212223=14,P(X=300)=C311-1212213=18,P(X=400)=C321-1221223=14,P(X=500)=C321-1221213=18,P(X=600)=1-12323=112,P(X=700)=1-12313=124,E(X)=0112+100124+20014+30018+40014+50018+600112+700124=33313.
