1、第2课时 诱导公式五、六课标解读课标要求素养要求1.理解诱导公式五、六.2.掌握诱导公式五、六在化简、求值、证明问题中的应用.1.逻辑推理能用所学知识推导诱导公式五、六.2.数学运算能用诱导公式五、六化简、求值与证明.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 诱导公式五sin(2-)= cos ，cos(2-)= sin .要点二 诱导公式六sin(2+)= coscos(2+)= -sina自主思考1.2- 与 的终边有什么样的位置关系？答案：提示关于直线y=x 对称.2.诱导公式五、六中的三角函数的名称和符号是否变化？答案：提示三角函数的名称改变，符号看角的终边所在的象限.名师点睛1.诱导公
2、式中 是任意角，可以看成锐角，所以2- 可以看成第一象限角，2+ 可以看成第二象限角.2.运用诱导公式五、六解题时，先变名（即三角函数的名称改变），再定号（符号看角的终边所在的象限）.3.常见的互余关系：3- 与6+,4+ 与4- 等；常见的互补关系：3+ 与23-,4+ 与34- 等.互动探究关键能力探究点一 化简求值精讲精练例 求cos(52+x)tan(2-x)sin(x-52) 的值.答案：原式=cos(2+2+x)sin(2-x)sin(x-2-2)cos(2-x)=cos(2+x)sin(2-x)sin(x-2)cos(2-x)=-sinxcosx-cosxsinx=1 .解题感悟
3、化简求值的方法与技巧（1）方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式进行变形，从而解决问题.（2）技巧：异名化同名；异角化同角；切化弦.迁移应用1.已知cos=-14 ，求sin(-32)sin(32-)tan2(2-)cos(2-)cos(2+)cos2(-) 的值.答案：原式=sin(-+2)-sin(2-)tan2(2-)cos(2-)cos(2+)cos2(-)=cos(-cos)tan2sin(-sin)cos2=tan2sin2=1cos2 .因为cos=-14 ，所以原式=16.探究点二 三角恒等式的证明精讲精练 例 求证：sin(2
4、+)cos(-)cos(2-)cos(72-)cos(-)sin(3-)sin(-+)sin(52+)=tan .答案：证明 左边=sin(-cos)sincos2+(+2-)-cossin2+(-)sin-(-)sin2+(2+)=sincos+(2-)sin(-)-sin(-)sin(2+)=sinsin-cos(2-)sin(-sin)cos=sin(-sin)(-sin)cos=tan=右边 ，所以原等式成立.解题感悟三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代
5、换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.迁移应用 1.求证：2sin(-32)cos(+2)-11-2sin2(+)=tan+1tan-1 .答案：证明 左边=2sin(32-)sin-11-2sin2=2sin+(2-)sin-11-2sin2=-2sin(2-)sin-11-2sin2=-2cossin-1cos2+sin2-2sin2=(sin+cos)2sin2-cos2=sin+cossin-cos=tan+1tan-1=右边 ，所以原等式成立.探究点三 诱导公式在三角形中的应用精讲精练例 （多选）在ABC 中，下列表达式为常数的是( )A.sin(A+B)
6、+sinC B.cos(B+C)+cosAC.sin2A+B2+sin2C2 D.sinA+B2sinC2答案：B ; C解析：cos(B+C)+cosA=cos(-A)+cosA=0 ，所以B 中表达式是常数；sin2A+B2+sin2C2=sin2-C2+sin2C2=cos2C2+sin2C2=1 ，所以C 中表达式是常数；sin(A+B)+sinC=2sinC ，sinA+B2sinC2=cosC2sinC2=12sinC ，所以A ，D 中表达式不是常数.解题感悟利用诱导公式解决三角形中的有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，又要注意三角形中的隐含条件（三角
7、形内角和等于）.在ABC 中，常用到以下结论：sin(A+B)=sin(-C)=sinC ；cos(A+B)=cos(-C)=-cosC ；tan(A+B)=tan(-C)=-tanC ；sin(A2+B2)=sin(2-C2)=cosC2 ；cos(A2+B2)=cos(2-C2)=sinC2 .迁移应用1.（2020黑龙江哈尔滨第三中学高一检测）已知ABC 为锐角三角形，则( )A.sinAsinBB.cosAcosBC.sinAcosBD.sinAcosB答案：C解析：因为ABC 为锐角三角形，所以A+B2 ，即A2-B .又A,2-B(0,2) ，所以sinAsin(2-B)=cosB
8、 .故选C.评价检测素养提升课堂检测1.已知sin25.3=a ，则cos64.7 等于( )A.a B.-a C.a2 D.1-a2答案：A解析：cos64.7=cos(90-25.3)=sin25.3=a .2.若sin(180+)+cos(90+)=-14 ，则cos(270-)+2sin(360-) 的值为( )A.-16 B.-38 C.16 D.38答案：B解析：由sin(180+)+cos(90+)=-14 ，得-sin+(-sin)=-14 ，则sin=18 ，所以cos(270-)+2sin(360-)=-sin-2sin=-3sin=-38 .3.（2021山东临沂高一期末
9、）已知4cos-sin3sin+2cos=14 .（1）求tan 的值；（2）求sin(-)sin(32-) 的值.答案：（1）因为4cos-sin3sin+2cos=14 ，所以16cos-4sin=3sin+2cos ，所以14cos=7sin ，所以tan=2 .（2）sin(-)sin(32-)=-sincos=-sincossin2+cos2=-tantan2+1, 由（1）知tan=2 ，所以原式=-24+1=-25 .素养演练数学运算利用诱导公式求解三角函数值问题1.若sin=55 ，求cos(3-)sin(2+)sin(72+)-1+sin(52-)cos(3+)sin(52+
10、)-sin(72+) 的值.审：已知条件sin=55 ，求与 有关的代数式的值.联：根据已知条件，用诱导公式将所求代数式化简，并建立与sin 有关的关系式，然后求解.注意诱导公式的特点及三角函数值的符号.解：原式=cos2+(-)cossin(3+2+)-1+sin2+(2-)cos2+(+)sin2+(2+)-sin3+(2+)=-coscos(-cos-1)+cos-coscos+cos=11+cos+11-cos=21-cos2=2sin2 .因为sin=55 ，所以2sin2=2(55)2=10 ，所以原式=10.解析：思：利用诱导公式化简三角函数式应抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，并利用相关的公式进行变形，从而解决问题迁移应用1.已知sin 是方程5x2-7x-6=0 的根，且 为第三象限角，求sin(+32)sin(32-)tan2(2-)tan(-)cos(2-)cos(2+) 的值.答案：易知方程5x2-7x-6=0 的两根为x=2 或x=-35 ，因为-1sin1 ，所以sin=-35 .又因为 为第三象限角，所以cos=-1-sin2=-45,tan=34 ，所以原式=(-cos)(-cos)tan2(-tan)sin(-sin)=tan=34 .
