1、海南省嘉积中学2020届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得集合，再根据并集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，集合，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.命题“”的否定是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的
2、关系，可得命题“”的否定是“”，故选C.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数的运算公式，即可作出判定，即可求解.【详解】由题意，常数的导数为0，可得是正确的，所以A是正确的；根据导数的运算公式，可得，所以B、C、D是错误的，故选A.【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数的零点所在的一个区间是（）A. （2，1）B. （1，0）
3、C. （0，1）D. （1，2）【答案】C【解析】分析】由题意，求得，根据零点的存在定理，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，则，即，根据零点的存在定理，可得函数的零点所在的一个区间是，故选C.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的定义，求得或，分别代入函数的解析式，验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数是幂函数，可得，解得或，当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；当时，
4、函数，此时函数为奇函数，满足题意，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.设，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由指数函数的性质求得，由对数函数的性质求得，由三角函数的诱导公式，可得，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，由对数函数的性质，可得且，即，由三角函数的诱导公式，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性的应用，以及三角函数的诱导公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.函数与的图象有可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D【
5、解析】【详解】因为为增函数，排除A、C，由B,D可得对于B中函数的图象可以看出，则的图象与轴的交点应在原点下方，排除B.选D.8.下列函数中，最小值为4的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过变量的赋值，以及利用基本不等式，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，A中，当时，不满足题意；B中，当时，当且仅当时，即时取得等号，而，所以函数，不满足题意；C中，由，所以，当且仅当时，即，即取得等号，所以的最小值为4，满足题意；D中，当时，所以，不满足题意；故选C.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中主要特殊值法的应用，以及基本不等式的合理运算与应用是解答的关
6、键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知函数，若，则此函数的单调减区间是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得函数的定义域为，根据二次函数的性质，求得在单调递增，在单调递减，再由，得到，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数满足，解得，即函数的定义域为，又由函数在单调递增，在单调递减，因为，即，所以，根据复合函数的单调性可得，函数的单调递减区间为，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于
7、2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树
8、状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.11.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点都在函数的图象上，所以，解得，所以，因为，所以当时，取最大值，故此时的t
9、=分钟为最佳加工时间，故选B.考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.12.设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选：D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二、填
10、空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.=_.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】由题意，可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用诱导公式和特殊角的三角函数值求值问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.直线与曲线相切于点，则_.【答案】40【解析】【分析】把点代入直线方程，求得，再由导数的几何意义，得到，求得，进而代入曲线方程，求得的值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，直线与曲线相切于点，把点代入直线，可得，又由，则，所以，解得，即，把点代入，解得，所以.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导
11、数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知在上是奇函数，且.当时，则_.【答案】-2【解析】【分析】由函数满足，求得函数是以4为周期的周期函数，再由函数在上是奇函数和当时，代入即可求解.【详解】由题意，函数满足，即，代入可得，所以函数是以4为周期的周期函数，所以，又由函数在上是奇函数，且当时，则，所以.【点睛】本题主要考查了函数的周期性与函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练推导函数的周期，合理应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是_【答案】8【解析】
12、由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题：17题10分，18至22题各12分，共
13、70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算（1）（2）【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算的性质，准确运算，即可求解.【详解】（1）由.（2）由.【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根三角函数的定义，即可求解，得到答案；（2）利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入求解.【详解
14、】（1）由题意角的终边经过点，可得，根据三角函数的定义，可得.（2）由三角函数的诱导公式，可得.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.设函数（1）求的单调区间和极值（2）求在区间上的最值【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，极小值为；（2）最小值为0，最大值为.【解析】【分析】（1）求得函数的定义域为和，利用导数求得函数的单调性与极值，即可得到结论；（2）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，进而利用和的大小关系，即可求得函数的最值.【
15、详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，因为，则，令，即，解得，所以函数在上单调递增；令，即，解得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极小值，极小值为.（2）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，所以当处取得最小值，最小值为.又由，因为，所以函数的最大值为，所以函数在区间的最小值为0，最大值为【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，以及求解函数的极值与最值，注意数形结合思想的应用.20.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数
16、分别为24，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.【答案】（1）3人，2人，2人；（2）分布列见解析，.【解析】分析】(1)由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数；(2)由题意，随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】(1) 由题意知，某单位甲、乙、丙
17、三个部门的员工人数分别为24，16，16，可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人(2)随机变量的所有可能取值为，则，所以，随机变量的分布列为0123所以随机变量的数学期望【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.21.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)
18、万元(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m) (单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【答案】（1）若使每台机器人的平均成本最低，应买300台（2）75%【解析】【分析】（1）由总成本p（x）x+150万元，可得每台机器人的平均成本，然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m），分段求出30
19、0台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数，再由最大值除以1200，可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数，则答案可求【详解】(1)由总成本p(x)万元，可得每台机器人的平均成本yx1212.当且仅当x，即x300时，上式等号成立若使每台机器人的平均成本最低，应买300台(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)当1m30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60m)160m29600m，当m30时，日平均分拣量有最大值144000件当m30时，日平均分拣量为480300144000(件)300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件若传统人工分拣144000件，则需要
20、人数为120(人)日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少100%75%.【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，考查基本不等式求最值，是中档题22.已知函数ae2x+(a2) exx.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在
21、有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点.（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
