1、第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示【最新考纲】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）1函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到
2、集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数3函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法4分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个
3、函数1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y1与yx0是同一个函数()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点()(3)函数y1的值域是y|y1()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()答案：(1)(2)(3)(4)2(2015重庆卷)函数f(x)log2(x22x3)的定义域是()A3，1B(3，1)C(，31，) D(，3)(1，)解析：要使函数有意义，只需x22x30，即(x3)(x1)0，解得x3或x1.故函数的定义域为(，3)(1，)答案：D3下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|
4、x|Cf(x)x1 Df(x)x解析：将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等对于A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于B，f(2x)2x|2x|2(x|x|)2f(x)；对于C，f(2x)2x12f(x)；对于D，f(2x)2x2f(x)，故只有C不满足f(2x)2f(x)答案：C4设f(x)g(x)则f(g()的值为()A1B0 C1D解析：根据题设条件，是无理数，g()0，f(g()f(0)0.答案：B5给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)是一个函数；函数y2x(xN)的图象是一条直线；f(x)lg x2与g(x)2lg x是同一个函数其中正确命题的序号是_解析
5、：由函数的定义知正确满足的x不存在，不正确又y2x(xN)的图象是位于直线y2x上的一群孤立的点，不正确又f(x)与g(x)的定义域不同，也不正确答案：两点注意1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行两点要求1用换元法解题时，应注意换元前后的等价性2分段函数问题要用分类讨论思想分段求解四种方法函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法。一、选择题1(2016唐山期末)函数y的定义域为()A0，3B1，3C1，) D3，)解析：要使函数有意义，需要
6、保证，1x3.答案：B2(2015陕西卷)设f(x)则f(f(2)()A1 B.C. D.解析：因为20，所以f(2)220，所以f11.答案：C3现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是()解析：由球的形状可知，当不超过半球时，水的高度增加由快到慢，当超过半球时，水的高度增加越来越快答案：C4若f(ln x)3x4，则f(x)的表达式为()Af(x)3ln x Bf(x)3ln x4Cf(x)3ex Df(x)3ex4解析：令ln xt，则xet，故f(t)3et4，得f(x)3ex4.答案：D5(2017安徽示范高
7、中一联)已知函数f(x)若f(f(1)4a，则实数a等于()A. B.C2 D4解析：因为f(1)2，所以f(f(1)f(2)42a4a，解得a2.答案：C6已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2，1 D2，0解析：画出f(x)的图象如下图由f(x)的图象得到|f(x)|的图象如下图|f(x)|ax观察yax的图象总在y|f(x)|的下方，则当a0时，不合题意；当a0时，符合题意；当a0时，若x0，f(x)x22x0，所以|f(x)|ax化简为x22xax，即x2(a2)x，所以a2x恒成立，所以a2.综上2a0.答案：D二、填空题7已知函数f(x)的定
8、义域为(1，0)，则函数f(2x1)的定义域为_解析：要使函数f(2x1)有意义，需满足12x10，解得1x，即所求函数的定义域为.答案：8函数yln的定义域为_解析：由0x1.该函数的定义域为(0，1答案：(0，19(2014浙江卷)设函数f(x)若f(f(a)2，则a_解析：当a0时，f(a)a22a2(a1)210，于是f(f(a)f(a22a2)(a22a2)2，令(a22a2)22，显然无解；当a0时，f(a)a20，于是f(f(a)f(a2)(a2)22(a2)2a42a22令a42a222，解得a(a0，舍去)综上，a的值为.答案：三、解答题10二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.求f(x)的解析式解：设二次函数f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1.把f(x)的表达式代入f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.2axab2x.a1，b1.f(x)x2x1.11已知f(x)x21，g(x)(1)求f(g(2)和g(f(2)的值；(2)求f(g(x)的解析式解：(1)由已知，g(2)1，f(2)3，f(g(2)f(1)0，g(f(2)g(3)2.(2)当x0时，g(x)x1，故f(g(x)(x1)21x22x；当x0时，g(x)2x，故f(g(x)(2x)21x24x3；f(g(x)
