1、1.1.2 空间向量的数量积运算课标解读课标要求素养要求1.理解空间向量的夹角、数量积的概念.2.掌握空间向量的数量积的性质、运算律及计算方法.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直,夹角、长度等问题.1.数学运算能够对空间向量的夹角及长度进行运算.2.逻辑推理能够通过推理,判断垂直等问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 夹角与垂直的概念1.定义:已知两个非零向量a,b 在空间任取一点O ,作OA=a,OB=b ,则AOB 叫做向量a,b 的夹角,记作 .范围: 0, .特别地,当=0 时,向量a,b 同向共线;当= 时,向量a,b
2、反向共线,所以若ab ,则=0 或 ;当= 2 ,时,向量a,b 互相垂直,记作ab .要点二 空间向量的数量积及其运算律1.空间向量的数量积:（1）定义:已知两个非零向量a,b ,则|a|b|cos 叫做a,b 的数量积,记作ab ,即ab=|a|b|cos .特别地,零向量与任意向量的数量积为0.（2）常用结论（a,b 为非零向量）；（i）ab a-b=0 ;（ii）aa=|a|a|cosa,a=|a|2 .（3）空间向量的数量积满足如下的运算律:（ i ）(a)b=(ab),R ；（ii） ab=ba （交换律）; （iii）(a+b)c=ac+bc （分配律）.要点三 空间向量的投影1
3、.投影向量:如图（1 ） ,在空间,向量a 向向量b 投影,先将它们平移到同一个平面 内,利用平面上向量的投影,得到与向量b 共线的向量c ,c=|a|cosb|b| ,向量c 称为向量a 在向量b 上的 投影向量 .如图（2） ,也可以将向量a 向直线l 投影.2.向量a在平面上的投影向量:如图（ 3） ,向量a 向平面 投影,就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面 的垂线,垂足分别为A ,B ,得到向量AB ,向量AB 称为向量a 在平面 上的投影向量.这时,向量a ,AB 的夹角就是向量a 所在 直线与平面所成的角 .自主思考1.在三棱锥A-BCD 中,向量AB 和BD 的夹角是A
4、BD 吗?提示 不是,是ABD 的补角.2.“|a|b|cos是向量吗?它的最大值和最小值是什么?提示 不是向量,是数.它的最大值是|a|b| ,最小值是-|a|b| .3.若aa=|a|2 ,则a=a ,这种说法正确吗?提示 不正确,应为若aa=|a|2 ,则|a|=a2 .4.b|b| 是向量b 的单位向量，可以省去吗？提示 不能,因为投影向量是向量,不是数,所以不能省去.名师点睛1.两个向量的数量积是数,而不是向量,它可以是正数、负数或零.2.向量数量积的运算不满足作商和乘法的结合律、消去律,即ab=kb=ka,(ab)c=a(bc),ab=acb=c 都不成立.互动探究关键能力探究点一
5、 空间向量的数量积精讲精练例（多选题）如图,正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,体对角线AC1 和BD1 相交于点O ,则( )A.ABA1C1=4 B.ABAC1=42C.ABAO=2 D.BCDA1=4思路分析 利用空间向量的数量积逐项验证即可.答案：AC解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,ABAD,AA1AB,AA1AD ,且AA1=AB=AD=2,ABA1C1=AB(AD+AB)=4 ,故A正确;ABAC1=AB(AD+AB+AA1)=4, 故B错误;ABAO=AB12AC1=12AB(AB+AD+AA1)=2 ,故C正确;BCDA1=AD(DA+AA1)=-4,
6、故D错误.综上,A、C正确.解题感悟 求空间向量数量积的步骤：（1）将各个向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;（2）利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;（3）代入ab=|a|b|cosa,b 求解.迁移应用1.已知三棱锥A-BCD 的棱长均为1,且E 是BC 的中点,则AECD= ( )A.12 B.-12C.14 D.-14答案：D解析：因为三棱锥的棱长均为1,所以ABAC=ACAD=ADAB=12, 又E 是BC 的中点,所以AE=12(AB+AC),且CD=AD-AC ,故AECD=12(AB+AC)(AD-AC)=12(ABAD-ABAC+ACAD-AC
7、2)=12(12-12+12-1)=-14 .2.已知MN 是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 内切球的一条直径,则AMAN= .答案： 2解析：因为正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,所以其内切球的半径r=122=1 .又球心一定在该正方体的体对角线的中点处,且体对角线长为22+22+22=23 ,所以设该正方体的内切球的球心为O ,则AO=3,OM=ON=1 ,易知AM=AO+OM,AN=AO+ON,所以AMAN=(AO+OM)(AO+ON)=|AO|2+AO(OM+ON)+OMON=3+0-1=2.探究点二 空间向量数量积的应用 精讲精练类型1 求夹角例1如图,在空间
8、四边形OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45,OAB=60 ,求异面直线OA 与BC 所成角的余弦值.答案：BC=AC-AB,OABC=OAAC-OAAB=|OA|AC|cos-|OA|AB|cosOA,AB=84cos135-86cos120=24-162 ,cosOA,BC=OABC|OA|BC|=24-16285=3-225 , 异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为3-225 .解题感悟求两个空间向量a ,b 夹角的方法类同于平面内两个向量夹角的求法,利用公式cosa,b=ab|a|b|, 在具体的几何体中求两个向量的夹角时,可把其中一个向量平移,使其起点与
9、另一个向量的起点重合,将该问题转化为求平面内的向量夹角的问题.类型2 求距离例2 如图,已知AB 平面,BC 平面,CDBC,DF 平面 ,且DCF=30 ,点D 与点A 在平面 的同侧,若AB=BC=CD=2 ,求A ,D 两点间的距离.答案：因为AB 平面,DF 平面 ,所以ABDF ,又DCF=30 ,所以AB 与CD 的夹角为120 .因为AB=BC=CD=2,AD=AB+BC+CD ,所以|AD|2=(AB+BC+CD)2=|AB|2+|BC|2+|CD|2+2ABBC+2ABCD+2BCCD=12+2(22cos90+22cos120+22cos90)=8,所以|AD|=22 ,即
10、A ,D 两点间的距离为22 .解题感悟利用空间向量的数量积与空间向量的模的关系,常把空间中两点之间的距离问题转化为空间向量模的大小问题.迁移应用如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,BAD=60,A1A 与AB、AD 的夹角都为60 .求：（1）AC1 的长;（2）异面直线BD1 与AC 所成角的余弦值.答案：（1）设AB=a,AD=b,AA1=c,所以ab=|a|b|cos60=12,ac=|a|c|cos60=1,bc=|b|c|cos60=1,因为AC=a+b, 所以在平行四边形AA1C1C 中,AC1=AC+AA1=a+b+c,所以|AC1|2
11、=AC12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=|a|2+|b|2+|c|2+2|a|b|cos60+2|a|c|cos60+2|b|c|cos60=1+1+4+212+21+21 =11,所以|AC1|=11,故AC1 的长为11 .（2）由AC=a+b 可得|AC|2=(a+b)2=a2+b2+2ab=1+1+1=3 ,所以|AC|=3 .由BD1=AD1-AB=b+c-a 可得|BD1|2=(b+c-a)2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc=1+1+4-1-2+2=5,所以|BD1|=5,所以cosAC,BD1=ACBD1|AC|BD1|=(a+b)(b+
12、c-a)35=ac-a2+b2+bc15=1-1+1+115=21515 .探究点三 投影向量精讲精练例在测量树的高度时,常利用阳光下的影子测量树的高度,如图所示,测得OA=2 .求向量AB 在向量OA 上的投影向量.答案：根据投影向量的定义可知,向量AB 在向量OA 上的投影向量为|AB|cosAB,OAOA|OA|=(-2)OA2=-OA .解题感悟根据投影向量的定义可得向量a 在向量b 上的投影向量为|a|cosa,bb|b| .迁移应用如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面ABCD 是矩形,AB=4,AA1=3,AD=2,BAA1=DAA1=60,E 为棱C1D1 的中点,
13、则|AE|= ;AE 在AB 上的投影向量是 .答案： 29 ; 78AB解析：由题图可知AE=AA1+AD+12AB,所以|AE|=|AA1+AD+12AB|=|AA1|2+|AD|2+14|AB|2+2AA1AD+AA1AB+ADAB=32+22+4+23212+3412+0=29 ,ABAE=ABAA1+ABAD+12AB2=4312+0+1242=14 ,所以AE 在AB 上的投影向量是ABAE|AB|AB|AB|=78AB .评价检测素养提升1.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AEAF 的值为( )A.a2B.12a2
14、C.14a2D.34a2答案：C2.（2021北京中关村中学高二期中）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,设AD=AA1=1,AB=2, 则BD1AD 等于( )A.1B.2C.3D.63答案：A3.如图,已知PA 平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6 ,则向量PC 在BC 上的投影向量等于 .答案：32BC解析：因为PCBC=(PA+AB+BC)BC=0+6612+62=54 ,所以向量PC 在BC 上的投影向量为PCBC|BC|BC|BC|=32BC .4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,M,N 分别是A1B,B1C1 上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c.（1）试用向量a,b,c 表示向量MN ;（2）若BAC=90,BAA1=CAA1=60,AB=AC=AA1=1, 求MN 的长.答案：（1）MN=MA1+A1B1+B1N=13BA1+AB+13B1C1=13(c-a)+a+13(b-a)=13a+13b+13c .（2）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1+1+1+0+21112+21112=5 ,|a+b+c|=5,|MN|=13|a+b+c|=53 ,即MN=53 .
