1、5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时 周期性与奇偶性课标解读课标要求素养要求1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求函数y=Asin(x+) 及y=Acos(x+) 的周期.3.掌握y=sinx,y=cosx 的奇偶性,会判断简单函数的奇偶性.直观想象、数学运算会用正弦函数、余弦函数的性质求周期、判断奇偶性.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 周期性一般地,设函数的f(x) 定义域为D ,如果存在一个非零常数T ,使得对每一个xD 都有x+TD,且f(x+T)=f(x) .那么函数f(x) 就叫做 周期函数 .非零常数T 叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x) 的所有
2、周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x) 的 最小正周期 .正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0) 都是它的周期，最小正周期是 2 .类似地,余弦函数也是周期函数.2k(kZ且k0) 都是它的周期,最小正周期是 2 .要点二 奇偶性正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.自主思考1.已知函数f(x),xD ,存在一个非零常数T ,使得对无数个xD ,都有x+TD,且f(x+T)=f(x) ,那么非零常数T 是不是这个函数的周期?答案：提示不是无数个x 并不能代表定义域中所有的x ,只有当定义域中.的每一个x 都满足时,T 才是周期.2.诱导公式sin(-x)=-sinx,cos(-
3、x)=cosx 体现了函数的什么性质?答案：提示奇偶性.名师点睛1.若函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数,若函数的图象关于y 轴对称,则该函数是偶函数2.求形如y=sin(x+)或y=cos(x+) 的函数图象的对称轴和对称中心时,常常运用换元法,令z=x+ ,将函数转化为y=sinz或y=cosz 求解.互动探究关键能力探究点一 函数的周期性精讲精练 例 求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=cos(2x+4); （2）f(x)=|sinx| .答案： （1）因为f(x)=cos(2x+4)=cos(2x+4+2)=cos2(x+)+4=f(x+) ,即f(x+)=f(x) ,所以函
4、数f(x)=cos(2x+4) 的最小正周期为 .（2）作出函数y=|sinx| 的图象,如图所示.由图象可知最小正周期为 .解题感悟求函数最小正周期的常用方法（1）定义法：利用周期函数的定义求解;（2）公式法：形如yAsin(x+) 和yAcos(x+) （其中A, ,为常数,且A0,0 ）的函数的周期T=2| ;（3）图象法：作出函数的图象,通过观察图象得到最小正周期.迁移应用1.设a0 ,若函数y=sin(ax+) 的最小正周期是 ,则a= .答案：2解析：由题意知T=2|a|= ,且a0 ,所以a=2 .2.求下列函数的最小正周期.（1）y=3sin(x2+8) ;（2）y=cos20
5、22x .答案：（1）由T=22=4 ,可得函数的最小正周期为4.（2）由22022=1011 ,得函数y=cos2022x 的最小正周期为1011 .探究点二 函数的奇偶性精讲精练 例 判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=sin(-12x+2) ;（2）f(x)=sinxcosx ;（3）f(x)=1-cosx+cosx-1 .答案：（1）函数的定义域为R ,关于原点对称.因为f(x)=sin(-12x+2)=cos12x ,所以f(-x)=cos(-12x)=cos12x=f(x) ，所以f(x) 是偶函数.（2）函数的定义域为R ,关于原点对称.因为f(-x)=sin(-x)cos(-x
6、)=-sinxcosx=-f(x) ,所以f(x)=sinxcosx 为奇函数.（3）由1-cosx0cosx-10 得cosx=1 ,所以函数的定义域为x|x=2k,kZ ,定义域关于原点对称.当cosx=1 时,f(x)=0,f(x)=f(-x) ,所以f(x)=1-cosx+cosx-1 既是奇函数又是偶函数.解题感悟判断函数奇偶性的“三步曲”一看：看函数的定义域是否关于原点对称;二求：求f(x) 与f(-x) 的关系;三判断：恒等式奇偶性f(-x)=f(x)偶函数f(-x)=-f(x)奇函数f(-x)=f(x) ,且f(-x)=-f(x)既是奇函数,又是偶函数f(-x)f(x) ,且f
7、(-x)-f(x)非奇非偶函数迁移应用1.判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=xcosx ;（2）f(x)=cos2x+1 ;（3）f(x)=sinx+1 .答案：（1）因为xR ,关于原点对称,f(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-f(x) ,所以f(x) 为奇函数（2）因为xR ,关于原点对称,f(-x)=cos2(-x)+1=cos(-2x)+1=cos2x+1=f(x) ,所以f(x) 为偶函数（3）因为xR ,关于原点对称,f(-x)=sin(-x)+1=1-sinx ,f(-x)f(x) ,且f(-x)-f(x) ,所以f(x) 为非奇非偶函数.探究点三 函数周期性与奇
8、偶性的综合运用精讲精练 例 定义在R 上的函数f(x) 既是偶函数,又是周期函数,若f(x) 的最小正周期为 ,且当x0,2 时,f(x)=sinx ,则f(53) 等于( )A.-12 B.12C.-32 D.32答案： D解析：f(53)=f(53-)=f(23)=f(23-)=f(-3)=f(3)=sin3=32 .解题感悟与三角函数奇偶性有关的结论（1）要使yAsin(x+)(A,0) 为奇函数,则=k(kZ) ;（2）要使yAsin(x+)(A,0) 为偶函数,则=k+2(kZ);（3）要使yAcos(x+)(A,0) 为奇函数,则=k+2(kZ);（4）要使yAcos(x+)(A,
9、0) 为偶函数,则则=k(kZ) ;迁移应用1.若f(x) 是奇函数,且f(x+1)=-f(x) ,当x(-1,0) 时,f(x)=2x+1 ,求f(92) 的值.答案：因为f(x+1)=-f(x) ,所以f(x+2)=-f(x+1) ,所以f(x+2)=f(x) ,即f(x) 的最小正周期为2,所以f(92)=f(92-4)=f(12) .又因为f(x) 为奇函数,且x(-1,0) 时,f(x)=2x+1 ,所以f(12)=-f(-12)=-2(-12)+1=0 ,故f(92)=0 .评价检测素养提升课堂检测1.函数f(x)=2cos(2-x) 是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是
10、偶函数D.非奇非偶函数答案：A解析：f(x)=2cos(2-x)=2sinx ,因为xR ,且f(-x)=-2sinx=-f(x) ,所以f(x) 为奇函数.2.如图所示的是定义在R 上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是( )A. B.C. D.答案：D解析：观察题中图象易知,只有D选项中的图象不是周期函数的图象3.设函数f(x)=sin(2x-2),xR ,则f(x) 是( )A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的偶函数C.最小正周期为2 的奇函数D.最小正周期为2 的偶函数答案： B解析：因为sin(2x-2)=-sin(2-2x)=-cos2x ,所以f(x)=-cos
11、2x ,又f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x) ,所以f(x) 是最小正周期为 的偶函数.4.函数y=f(x) 是R 上的周期为4的偶函数,且f(-2)=3 ,则f(2022)= .答案：35.已知f(x) 为奇函数,且周期为34 ,若f(4)=-1 ,则f(234)= .答案：1解析：因为T=34 ,所以f(234)=f(834-4)=f(-4)=-f(4)=-(-1)=1 .素养演练直观想象周期函数的求解和图象识别1.已知定义在R 上的偶函数f(x) 的最小正周期是 ,当x0,2 时,f(x)=sinx .（1）求f(53) 的值;（2）求xR 时f(x) 的解析式.解析
12、：由题意可知,函数图象关于y轴对称,画出函数的图象,如图,由图象可得f(x)=sinx,xR ,则f(53)=|sin53|=|sin(-3)|=sin3=32 .答案：（1）f(53)=32 .（2）f(x)=sinx,xR .素养探究：直观想象就是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决问题的思维过程.三角函数的对称性问题常常通过数形结合解决.迁移应用1.设函数f(x)(xR) 满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x) ,则函数y=f(x) 的图象可以是( )A. B.C. D.答案：B解析：由f(-x)=f(x) ,得f(x) 是偶函数,图象关于y 轴对称.由f(x+2)=f(x) ,得f(x) 的周期为2.故选B.
