1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(六)概率与统计的综合问题1.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组:40,50),50,60),90,100后得到如图的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值.(2)若该校高一年级共有学生500人,试估计该校高一年级在考试中成绩不低于60分的人数.(3)若从样本中数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的
2、绝对值不大于10的概率.【解析】(1)由0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,可得a=0.03.(2)数学成绩不低于60分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85,数学成绩不低于60分的人数为5000.85=425(人).(3)数学成绩在40,50)的学生人数:400.05=2(人).数学成绩在90,100的学生人数:400.1=4(人).设数学成绩在40,50)的学生为A1,A2,数学成绩在90,100的学生为A3,A4,A5,A6.两名学生的结果为:A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3
3、,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6.共15种,其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有A1,A2,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6共7种,因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为.2.(2015长沙模拟)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选的选手可以参加A,B,C三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛.甲选手通过项目A,B,C测试的概率为分别为,且通过
4、各次测试的事件相互独立.(1)若甲选手先测试A项目,再测试B项目,后测试C项目,求他通过海选的概率;若改变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由.(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为p1,第二项能通过的概率为p2,第三项能通过的概率为p3,设他通过海选时参加测试的次数为X,求X的分布列和期望(用p1,p2,p3表示);并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛.【解析】(1)依题意,甲选手不能通过海选的概率为=,故甲选手能通过海选的概率为1-=.若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响,因为无论按什么顺序,其不能通过的概率均为=,即无论按什么顺序,其能通过海
5、选的概率均为.(2)依题意,X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=p1,P(X=2)=(1-p1)p2,P(X=3)=(1-p1)(1-p2)p3.故X的分布列为X123Pp1(1-p1)p2(1-p1)(1-p2)p3EX=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)p3,分别计算当甲选手按CBA,CAB,BAC,BCA,ABC,ACB的顺序参加测试时,EX的值,得甲选手按CBA的顺序参加测试时,EX最小,因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛,故该选手选择将自己的优势项目放在前面,即按CBA的顺序参加测试更有利于进入正赛.3.(2015吉安模拟)某商场组织有奖竞猜活动,参与者
6、需要先后回答两道选择题,问题A有三个选项,问题B有四个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题A可获奖金25元,正确回答问题B可获奖金30元,活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答正确,则继续答题,否则该参与者猜奖活动终止,假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,只能用蒙猜的办法答题.(1)如果参与者先回答问题A,求其获得奖金25元的概率.(2)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.【解析】随机猜对问题A的概率P1=,随机猜对问题B的概率P2=.(1)设参与者先回答问题A,且获得奖金25元为事件M,则P(M)= P1(1-P2)=,即参与
7、者先回答问题A,且获得奖金25元概率为.(2)参与者回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:先回答问题A再回答问题B,参与者获奖金额X可取0,25,55,则P(X=0)=1- P1=,P(X=25)= P1(1-P2)=,P(X=55)=P1P2=.EX=0+25+55=.先回答问题B再回答问题A,参与者获奖金额Y可取0,30,55,则P(Y=0)= 1-P2=,P(Y=30)= P2(1-P1)=,P(Y=55)=P1P2=.EY=0+30+55=.因为EX EY,所以应该先答问题A,再答问题B.4.(2015西安模拟)某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后有L1,L2
8、两条巷道通往作业区,L1巷道有A1,A2,A3三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都是;L2巷道有B1,B2两个易堵塞点,被堵塞的概率分别为,.(1)求L1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率.(2)若L2巷道中堵塞点个数为X,求X的分布列及数学期望EX,并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准,请你帮助救援队选择一条抢险路线,并说明理由.【解析】(1)设“L1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A,则P(A)=+=.(2)依题意,X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=+=,P(X=2)=.所以,随机变量X的分布列为:X012PEX=0+1+2=.(方法一)
9、设L1巷道中堵塞点个数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3. P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=.所以,随机变量Y的分布列为:Y0123PEY=0+1+2+3=,因为EXEY,所以选择L2巷道为抢险路线为好.(方法二)设L1巷道中堵塞点个数为Y,则随机变量YB,所以EY= 3=.因为EXEY,所以选择L2巷道为抢险路线为好.【加固训练】1.(2015咸阳模拟)为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).如图是测量数据的茎叶图:规定:当产品中的此种元素含量不小于18毫克时,该产品为优等品.(1)试用上
10、述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率.(2)从乙厂抽出的上述10件样品中,随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数X的分布列及其数学期望EX.(3)从甲厂的10件样品中有放回地随机抽取3件,也从乙厂的10件样品中有放回地随机抽取3件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.【解析】(1)甲厂抽取的样本中优等品有6件,优等品率为:=.乙厂抽取的样本中优等品有5件,优等品率为:=.(2)X的取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.X的分布列为X0123PX的数学期望为EX=0+1+2+3=.(3)抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件,即A=
11、“抽取的优等品数甲厂2件,乙厂0件”,B=“抽取的优等品数甲厂3件,乙厂1件”.则P(A)=.P(B)=.抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为:P(A)+ P(B)=+=.2.某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费1.1万元,团委计划在全校开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者,享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的结构示意图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇形区域A,B,C,D,E所对应的圆心角的比值为12345.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时,转动圆盘片刻
12、,待停止后,固定指针指向哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域C,可获得价值3元的学习用品).(1)预计全校捐款10元者将会达到1 500人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗?(2)如果学生甲捐款20元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值6元的学习用品的概率.【解析】(1)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A,B,C,D,E.则其概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(E)=.设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为X,则X的分布列为:X12345PEX=1+2+3+4+5=.若捐款10元者达到1 500人次,那么购买学习用品的款项为1 500 EX=3 500(元),除去购买学习用品的款项后,剩余款项为1 50010-3 500=11 500(元),故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗.(2)记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F,则P(F)=+=.即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为.关闭Word文档返回原板块
