1、2011高考数学萃取精华30套(6)5、已知两个向量, .(1)若t=1且,求实数x的值;(2)对tR写出函数具备的性质.解:(1)由已知得 2分 4分解得,或 6分(2) 8分具备的性质:偶函数;当即时,取得最小值(写出值域为也可);单调性:在上递减,上递增;由对称性,在上递增,在递减 14分说明:写出一个性质得3分,写出两个性质得5分,写出三个性质得6分,包括写出函数的零点(,)等皆可。写出函数的定义域不得分,写错扣1分6、已知函数的最大值为正实数,集合,集合。(1)求和;(2)定义与的差集:且。设,均为整数,且。为取自的概率,为取自的概率,写出与的二组值,使,。(3)若函数中, 是(2)
2、中较大的一组,试写出在区间,n上的最大值函数的表达式。 解:(1),配方得,由得最大值。3分 ,。6分 (2)要使,。可以使中有3个元素,中有2个元素, 中有1个元素。则。9分中有6个元素,中有4个元素, 中有2个元素。则12分(3)由(2)知13分 18分7、证明:当a1时,不等式成立。要使上述不等式成立,能否将条件“a1”适当放宽?若能,请放宽条件并简述理由;若不能,也请说明理由。 请你根据、的证明,试写出一个类似的更为一般的结论,且给予证明。解:(1)证:,a1,0, 原不等式成立 (6) (2)a-1与a5-1同号对任何a0且a1恒成立,上述不等式的条件可放宽 为a0且a1 (9) (
3、3)根据(1)(2)的证明,可推知:若a0且a1,mn0,则有(12) 证:左式-右式= (14) 若a1,则由mn0am-n0,am+n0不等式成立; 若0a1,则由mn00am-n1, 0am+n1不等式成立.(16)8、已知函数,当点在的图像上移动时,点在函数的图像上移动(1) 若点P坐标为(),点Q也在的图像上,求的值;(2) 求函数的解析式;(3) 当时,试探求一个函数使得在限定定义域为时有最小值而没有最大值解:(1)当点坐标为(),点的坐标为,2分点也在的图像上,即5分(根据函数的单调性求得,请相应给分)(2)设在的图像上则,即 8分而在的图像上,代入得,为所求11分(3);或 等
4、 15分如:当时,在单调递减, 故 ,即有最小值,但没有最大值18分(其他答案请相应给分)(参考思路)在探求时,要考虑以下因素:在上必须有意义(否则不能参加与的和运算);由于和都是以为底的对数,所以构造的函数可以是以为底的对数,这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算;以为底的对数是减函数,只有当真数取到最大值时,对数值才能取到最小值;为方便起见,可以考虑通过乘积消去;乘积的结果可以是的二次函数,该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧(否则真数会有最小值,对数就有最大值了),考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点,故对称轴又应该是轴或在轴的右侧(否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数),即若抛物线与轴的另一个公共点是,则,且抛物线开口向下