1、辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高二数学6月月考试题（含解析）一、选择题（共60分，每小题5分）1.设为虚数单位，复数满足，则A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可【详解】由，得，故选【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算2.设随机变量服从二项分布，且期望，则方差等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由于二项分布的数学期望,所以二项分布的方差，应填选答案C3.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070
2、根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A. 75万元B. 85万元C. 99万元D. 105万元【答案】B【解析】分析：根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当的函数值即可详解：由题意得，样本中心为回归直线过样本中心，解得，回归直线方程为当时，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元故选B点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题4.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有
3、4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据排列组合的知识分别求解出恰有一个地方未被选中的情况和所有情况，利用古典概型计算可得结果.【详解】名同学去旅游的所有情况有：种恰有一个地方未被选中共有：种情况恰有一个地方未被选中的概率：本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型计算概率的问题、排列组合中的分组分配问题；关键是能够利用排列组合的知识准确求解出恰有一个地方未被选中的情况种数；易错点是忽略了分组分配中的平均分配问题.5.函数的图象
4、上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可【详解】函数，可得，在点处的切线的斜率为k，若，函数k是偶函数，排除A，D，当时，显然C不正确，B正确；故选B【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力6.如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A. 96B. 84C. 60D. 48【答案】B【解析】解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有2种种法；种四种花有种种法共有2+
5、=84故选B7.的展开式中的系数是（ ）A. 1288B. 1280C. -1288D. -1280【答案】C【解析】【分析】可能是如下形成情况：，进而分情况,通过组合数的意义得到相应的系数.【详解】可能是，表示在8个式子中5个选，其余3个选出1，系数为；表示在8个式子中1个选，其余7个中3个选，其余选1，系数为；表示在8个式子中2个选，其余6个中一个选，其余选1，系数为，所以将展开合并同类项之后的式子中的系数是.故选C【点睛】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，
6、求导后赋值，积分后赋值等8.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得【详解】详解：，将代入得，故选D【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系9.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，计算出事件的概率和事件的概率，然后由条件概率公式可得
7、所求事件的概率为.【详解】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，事件甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，由独立事件的概率乘法公式得，对于事件，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件，故选A.【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.10.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左
8、、向右落下的机会均等，则小球最终落入号球槽的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互对立，最终落入号球槽两次向右，三次向左，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.【详解】设这个球落入号球槽为事件，落入号球槽两次向右，三次向左，所以.故选：D.【点睛】本题考查独立重复试验概率求法，将实际应用问题转化为概率模型是解题的关键，属于基础题.11.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可【详解】
9、的定义域是（0，+），若函数有两个不同的极值点，则在（0，+）由2个不同的实数根，故，解得：，故选D【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题12.函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，对函数求导得到函数的单调性，进而将原不等式转化为，进而求解.【详解】根据题意，设，则导数；函数在区间上，满足，则有，则有，即函数在区间上为增函数；，则有，解可得：；即不等式的解集为；故选D【点睛】这个题目考查了函数的单调性的应用，考查了解不等式的问题；解函数不等式问题，可以直接通过函
10、数的表达式得到结果，如果直接求解比较繁琐，可以研究函数的单调性，零点等问题，将函数值大小问题转化为自变量问题.二、填空题（共20分，每小题5分）13.如果随机变量，且，则_.【答案】【解析】【分析】利用可得正态密度曲线关于对称，根据正态分布曲线的对称性可得，进而可求得的值.【详解】因为，所以正态密度曲线关于对称，又因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查正态分布，解题的关键是掌握正态分布的对称性.14.已知函数在上不是单调函数，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先求出函数在上是单调函数时，的取值范围，再求其补集即可得出结果.【详解】因为，则，若函数在上是单调递增的函数，则在上恒
11、成立，即在上恒成立，因此；若函数在上是单调递减的函数，则在上恒成立，即在上恒成立，因此；因为函数在上不是单调函数，所以.故答案【点睛】本题主要考查根据函数单调性求参数的问题，通常需要对函数求导，用分离参数的方法求解，属于常考题型.15.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选那么不同的组队形式有_种【答案】【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.详解：若甲乙都入选，则从其余人
12、中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有 种；若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提
13、高准确率.16.已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围_.【答案】【解析】【分析】将问题转化为当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围，并作出函数的图象，考查当直线与曲线相切以及直线与直线平行这两种临界位置情况，结合斜率的变化得出实数的取值范围【详解】问题等价于当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围作出函数的图象如下图所示：先考虑直线与曲线相切时，的取值，设切点为，对函数求导得，切线方程为，即，则有，解得.由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只
14、有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量分离转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，若转化为直线（不恒与轴垂直）与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题三、解答题17.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名
15、；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.【答案】（1）120；（2）246；（3）196；（4）191.【解析】【分析】（1）本题是一个分步计数问题，第一步计算选3名男运动员选法数，第二步计算选2名女运动员选法数，再利用乘法原理得到结果.（2）利用对立事件，“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”，得到从10人中任选5人的选法数，再得到全是男运动员选法数，相减即可.（3）分三类讨论求解，第一类“只有男队长”，第二类“只有女队长”，第三类 “男女队长都入选”，然后相加即可.（4）分两类讨论求解，第一类，当有女队长时，其他人选法任意，第二
16、类不选女队长，必选男队长，其中要减去不含女运动员的选法，然后相加即可.【详解】（1）分两步完成，首先选3名男运动员，有种选法，再选2名女运动员，有种选法，共有种选法.（2）“至少有1名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”，从10人中任选5人，有种选法，全是男运动员有种选法，所以“至少有1名女运动员”的选法有种选法.（3）“只有男队长”的选法有种，“只有女队长”的选法有种，“男女队长都入选”的选法有种，所以队长中至少有1人参加的选法共有种；（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有种，不选女队长，必选男队长，共有种，其中不含女运动员的选法有种，此时共有种，所以既要有队长，又要有女运动员的选法共有
17、种.【点睛】本题主要考查分步，分类计数原理以及组合的分配问题，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.18.在的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；（3）求展开式中含的项的系数及有理项.【答案】（1）（2）最大的项为第五项，；（3）；【解析】【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得的值；（2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项，令即可求得展开式系数和；（3）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含的项的系数设展开式中第项为有理项，则，当、4、8时对应的项为有理
18、项【详解】解：（1）展开式的通项为因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，所以，即，所以（舍去）或.（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即.令得，即展开式系数和为（3）通项公式：由，可得含的项的系数为.设展开式中第项为有理项，由当、4、8时对应的项为有理项，有理项分别为：；【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题19.某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该
19、区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）39，39（2）见解析【解析】分析：(1)根据组中值与对应区间概率的乘积得平均数，根据中位数对应概率为0.5，列式可得结果，（2）先根据分层抽样得区间人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：()平均值的估计值中位数的估计值：因为，所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，所以，.
20、()用分层抽样的方法，抽取的20人，应有6人位于年龄段内，14人位于年龄段外依题意，的可能值为0,1,2, 分布列为012.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学
21、期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（
22、2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.【详解】（1）
23、因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X01234X的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.21.已知函数，其中.（1）当时，求的单调区间；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域和导数，由得出和，然后对和的大小关系进行分类讨论，分析导数符号，可得出函数的
24、单调增区间和减区间；（2）由，得出，得出，构造函数，将问题转化为，其中，然后利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，令，可得或.当时，即当时，对任意的，此时，函数的单调递增区间为；当时，即当时，令，得或；令，得.此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，即当时，令，得或；令，得.此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由题意，可得，可得，其中.构造函数，则.，令，得.当时，；当时，.所以，函数在或处取得最小值，则，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究函数不等式成立问题，
25、在求解时充分利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题.22.已知函数（是自然对数的底数），.（1）若，求的极值；（2）对任意都有成立，求实数的取值范围.（3）对任意证明：；【答案】（1）极小值1，无极大值；（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）设，对其求导令，从而得出其导函数取得正负的区间，得出函数的单调性，从而求得的极值；（2）令，求导，令解得讨论实数的范围和分别验证不等式是否恒成立，可得出的取值范围.（3）令，求导得时,单调递增；有，代换可得证.【详解】（1）设，令，所以当，当，所以当时，单调递减，当时，单调递增，从而当时，取得的极小值，无极大值；（2），令解得（i）当时，所以对所有，；在上是增函数.所以有，即当时，对于所有，都有.（ii）当时，对于，所以在上是减函数，从而对于有，即，所以当时，不是对所有的都有成立.综上，的取值范围是；（3）证明：令，当，所以当时,单调递增；所以，所以.【点睛】本题考查运用函数的导函数研究函数的极值，单调性，解决不等式的恒成立问题，证明不等式等函数综合问题，关键在于构造合适的函数，对其求导函数，由导函数的正负得出原函数的单调性，从而解决极值，最值，不等式恒成立，证明不等式，属于难题.
