1、2.2 等 差 数 列 第1课时 等 差 数 列 必备知识自主学习 导思 1.等差数列的定义是什么?2.等差中项的含义是什么?3.等差数列的通项公式是什么?1.等差数列(1)定义.条件 一个数列从第_项起,每一项与它的前一项的_等于同一个 常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关 概念 这个常数叫做等差数列的_,公差通常用字母d表示 2 差 公差(2)作用:证明一个数列是否是等差数列;推出等差数列的通项公式和性质.思考 (1)为什么强调“从第2项起”?提示:第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(
2、2)如何理解“每一项与它的前一项的差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.2.等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.(2)结论:_叫做_的等差中项.(3)满足的关系式:A=_.A a与b ab23.等差数列的表示 前提 等差数列an,首项是a1,公差为d 通项公式 an=_(nN*)递推公式 _=d(nN*)a1+(n-1)d an+1-an 思考 等差数列an=pn+q(nN*)的图象与一次型函数y=px+q的图象有什么关系?提示:等差数列an=pn+q的图象是一次型函数y=px+q图象中横坐标为正整数点的集合.【基础小测
3、】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列.()(2)常数列也是等差数列.()(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.()(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.()提示:(1).如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.(2).因为从第2项起每一项与它的前一项的差是同一个常数0.(3).只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.(4).若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差
4、数列.2.下列数列是等差数列的是()A.B.1,C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0 1 1 1 14 6 8 10，357，【解析】选D.因为 ,故排除A;因为 ,故排除B;因为-1-11-(-1),故排除C.111164863 1533.(教材二次开发:例题改编)等差数列1,-3,-7,的通项公式为 ,a20=.【解析】因为d=-3-1=-4,a1=1,所以an=1-4(n-1)=-4n+5.所以a20=-80+5=-75.答案:an=-4n+5-75 关键能力合作学习 类型一 等差数列的定义及应用(数学抽象)【典例】1.已知数列an满足an+1-an=2,nN*,且a3=3,则a1
5、=.2.数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,bn=an+1-an.证明:bn是等差数列.【思路导引】1.由an和an+1的关系判断数列an是等差数列及其公差,由第三项求第一项;2.依据等差数列的定义,由题目条件推导bn+1-bn为常数.【解析】1.因为an+1-an=2,nN*,所以数列an是等差数列,其公差为2,因为a3=a1+22=3,所以a1=-1.答案:-1 2.由an+2=2an+1-an+2,得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.所以bn+1-bn=2,又b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.【变式探究】
6、将本例2的条件“a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,bn=an+1-an.”改为“a1=,anan-1=an-1-an(n2),bn=”如何解答?12n1a【解析】因为anan-1=an-1-an(n2),所以 =1(n2),又因为bn=,所以bn+1-bn=1(nN*)且b1=2.所以数列bn是等差数列,其首项为2,公差为1.nn111aa n1a11a【解题策略】定义法判定数列an是等差数列的步骤(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列an是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列an不是等差数
7、列.【题组训练】1.若数列an满足3an+1=3an+1,则数列an是()A.公差为1的等差数列 B.公差为 的等差数列 C.公差为-的等差数列 D.不是等差数列 1313【解析】选B.由3an+1=3an+1得3an+1-3an=1,即an+1-an=.所以数列an是公差为 的等差数列.13132.若数列an的通项公式为an=10+lg2n(nN*),求证:数列an为等差数列.【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=10+(n+1)lg2-(10+nlg2)=lg2(nN*).所以数列an为等差数列.【补偿训练】1.以下选项
8、中构不成等差数列的是()A.2,2,2,2 B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a C.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3 D.a-1,a+1,a+3【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.2.已知数列an满足a1=2,an+1=(nN*),bn=(nN*).求证:数列bn是等差数列,并求出首项和公差.nna13an1a【证明】方法一:因为 所以 =+3,所以 -=3,又因为bn=(nN*),所以bn+1-bn=3(nN*),且b1=.所以数列bn是等差数列,首项为 ,公差为3.nn1n13a1aa，n11a n1an1
9、1a n1an1a11a1212方法二:因为bn=,且an+1=所以bn+1=+3=bn+3,所以bn+1-bn=3(nN*),b1=.所以数列bn是等差数列,首项为 ,公差为3.n1anna13an11a nn13aan1a11a1212类型二 等差中项及应用(数学运算、逻辑推理)角度1 计算问题 【典例】在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.【思路导引】等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.【解析】因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1与7的等差中项,所以b=3.又a是-1与3的等差中项,所以a=1.又c是3与7的等差中项,所
10、以c=5.所以该数列为-1,1,3,5,7.1 72 1 32 372【变式探究】将本例条件改为“在1与10之间顺次插入两个数x,y,使这四个数成等差数列”,求此数列.【解析】由已知,x是1和y的等差中项即2x=1+y,y是x和10的等差中项,即2y=x+10,由可解得x=4,y=7.所以此数列为1,4,7,10.角度2 证明等差数列 【典例】已知 ,成等差数列,证明 ,成等差数列.【思路导引】由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.1a1b1cbcaacbabc【证明】因为 成等差数列,所以 ,化简得2ac=b(a+c),又 =2 ,所以 ,成等差数列.1 1 1a b c，
11、211bacbcabac22bccaabac22b accaac222accaac2acac2acb ac2acbbcaacbabc【解题策略】1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,nN*,mn).2.等差中项法判定等差数列 若数列an满足2an=an-1+an+1(n2),则可判定数列an是等差数列.【题组训练】1.已知a=,b=,则a,b
12、的等差中项为()A.B.C.D.【解析】选A.a,b的等差中项为 =.132132321312111()232321(3232)2 32.已知 成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.【证明】由已知 成等差数列,可得 ,所以 ,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.111bc ca ab，111bc ca ab，211cabcab22bacca(bc)(ab)【补偿训练】1.各项均不为零的等差数列的前4项是a,x,b,2x,则 等于()A.B.C.D.【解析】选C.所以a=,b=x.所以 .ab14121323
13、2xab2bx2x ，x232a1b32.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.【解析】由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.所以m和n的等差中项为 =3.mn2类型三 等差数列的通项公式及应用(逻辑推理、数学运算)【典例】在等差数列an中,a1+a5=8,a4=7.(1)求数列的第10项;(2)问112是数列an的第几项?(3)在80到110之间有多少项?【解题策略】等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数
14、列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列an的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列an是等差数列.【跟踪训练】1.如果数列 是等差数列,且a1=1,a3=-,那么a2 020=()n2a1131 0091 009A.B.1 01010102 0192 019C.D.2 0202 020【解析】选B.设等差数列 的公差为d,且a1=1,a3=-,所以 ,所以3=1+2d,解得d=1.所以 =1+n-1=n,所以an=-1
15、.那么a2 020=.n2a113132213a1a1，n2a12n21 00912 0201 010 2.已知an为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式:(1)a3=5,a7=13;(2)前三项为a,2a-1,3-a.【解析】(1)设首项为a1,公差为d,则 解得 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1.(2)由等差中项公式得2(2a-1)=a+(3-a),解得a=,所以等差数列首项为 ,公差为2a-1-a=a-1=-1=,所以an=+(n-1)=+1.3171aa2d5aa6d13，1a1d2.，545454145414n4【补偿训练】等差数列an中,已知a3=10
16、,a12=31.(1)求a1,d及通项公式an;(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?【解析】(1)在等差数列an中,由a3=10,a12=31,得 解得 所以an=+(n-1)=n+3.11a2d10a11d31，116a37d3，1637373(2)由an=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;由an=n+3=85,得n=N*,故85不是数列中的项.73732467课堂检测素养达标 1.数列an的通项公式an=2n+5,则此数列()A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列【解析】选A.因为
17、an=2n+5,所以an-1=2n+3(n2),所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n2),所以数列an是公差为2的等差数列,a1=21+5=7.2.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为()A.1 B.6 C.5 D.-3【解析】选D.由x1+x2=-6,所以x1,x2的等差中项是 =-3.12xx23.已知等差数列2,5,8,11,则23是这个数列的()A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项【解析】选D.等差数列2,5,8,11,的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.4.已知数列an满足a1=2,an+1-an+
18、1=0(nN*),则此数列的通项公式an=.【解析】因为an+1-an+1=0(nN*),即an+1-an=-1,所以数列an是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,所以an=2-(n-1)=3-n.答案:3-n 5.(教材二次开发:习题改编)在等差数列an中,(1)已知a5=15,a17=39,求an;(2)若a2=11,a8=5,求a10.【解析】(1)因为 解得 所以an=7+2(n-1)=2n+5.(2)设an的公差为d,则 解得 所以an=12+(n-1)(-1)=13-n,所以a10=13-10=3.11a4d15a16d39，1a7d2，11ad 11a7d5，1a12d1.，课
19、时素养评价 八 等 差 数 列【基础通关】(20分钟 35分)1.一个三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列,则B的度数为()A.30 B.45 C.60 D.90【解析】选C.因为A,B,C的度数成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180,所以3B=180,所以B=60.2.已知等差数列an中各项都不相等,a1=2,且a4+a8=,则公差d=()A.0 B.C.2 D.0或 【解析】选B.根据题意知d0,a4+a8=a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,则4+10d=(2+2d)2,解得d=或d=0(舍去).23a121223a12【补偿训练】在等差数列an中
20、,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=()A.50 B.49 C.48 D.47 16313【解析】选A.设等差数列an的公差为d,因为a1=,a4+a5=,所以2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)=,则ak=33,解得k=50.163131632313232n 132k 133.下列说法中正确的个数是()(1)若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;(2)若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;(3)若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;(4)若a,b,c成等差数列,则 可能成等差数列.A.4个 B.3个
21、C.2个 D.1个 1 1 1a b c，【解析】选B.对于(1),取a=1,b=2,c=3a2=1,b2=4,c2=9,(1)错.对于(2),取a=b=c2a=2b=2c,(2)正确;对于(3),因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),(3)正确;对于(4),取a=b=c0 ,(4)正确.111abc=4.数列an是首项为2,公差为3的等差数列,数列bn是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.an=2+(n-1)3=3n-1,bn=-2+(n-1)4=4n-
22、6,令an=bn,得3n-1=4n-6,所以n=5.5.数列an是等差数列,且an=an2+n,则实数a=_.【解析】因为an是等差数列,所以an+1-an=常数,所以a(n+1)2+(n+1)-(an2+n)=2an+a+1=常数,所以2a=0,所以a=0.答案:0 6.已知等差数列an中满足a1=1,a3=-4,(1)求通项公式an;(2)求数列an中的最大项与最小项.22a【解析】(1)设等差数列an的公差为d,因为a1=1,a3=-4,所以1+2d=(1+d)2-4,解得d=2.所以an=12(n-1)=2n-1或3-2n.(2)an=2n-1时,数列an单调递增,n=1时,取得最小值
23、为a1=1,无最大值;an=3-2n时,数列an单调递减,n=1时,取得最大值为a1=1,无最小值.22a【补偿训练】在等差数列an中,已知a1=112,a2=116,这个数列在450到600之间共有多少项?【解析】由题意,得d=a2-a1=116-112=4,所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.令450an600,解得85.5n123,又因为n为正整数,故有38项.【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是()A.a=-b B.a=3b C.a=-b或a=3b D.
24、a=b=0【解析】选C.由等差中项的定义知:x=,x2=所以 即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.ab222ab2，222abab()22，2.已知数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1是首项为1,公差为2的等差数列,则a3等于()A.9 B.5 C.4 D.2【解析】选A.由题意可得,an-an-1=1+2(n-1)=2n-1,a1=1,故a2=4,a3=9.3.若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为()A.7或-3 B.log37 C.log27 D.4【解析】选C.因为log3(2x+11)-log3(2x-1)=log3
25、(2x-1)-log32,所以 即22x-42x-21=0,解得2x=7或2x=-3(舍去),所以x=log27.xxx21121212，4.等差数列的首项为 ,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围 是()12583A.dB.d75258383C.dD.d75257525【解析】选D.由题意 所以 所以 109a1a1，19d12518d125，83d.7525【补偿训练】已知在等差数列an中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,则公差为()A.-3 B.3 C.4 D.-4【解析】选A.因为等差数列an中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,所以a1=20,且a7
26、=a1+6d0,a8=a1+7d0,所以20+6d0,且20+7d0,解得-d-,又d为整数,所以d=-3.1032075.(2020随州高二检测)有两个等差数列2,6,10,190和2,8,14,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为()A.15 B.16 C.17 D.18【解析】选B.有两个等差数列2,6,10,190和2,8,14,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列cn为:2,14,26,.首项c1=2,公差d=12.所以cn=2+12(n-1)=12n-10.令12n-10190,解得n16.所以
27、这个新数列的项数为16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.等差数列an的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为_.【解析】设等差数列an的公差为d,由x,2x+1,4x+2成等差数列,得2(2x+1)=x+4x+2,解得x=0,所以a1=0,a2=1,公差d=1,故a5=a1+4d=4.答案:4 7.已知在数列an中,a1=1,a2=,且 (n2),则an=_.23n 1n 1n112aaa【解析】因为 所以数列 是等差数列,设其公差为d,则公差d=所以 +(n-1)d=1+(n-1)=.所以an=.答案:n 1n 1n112,aaan1a21111.aa2n111aa12n1
28、22n12n1【补偿训练】正项数列an满足:a1=1,a2=2,(nN*,n2),则a7=_.222nn 1n 12aaa【解析】因为 (nN*,n2),所以数列 是以 =1为首项,以d=-=4-1=3为公差的等差数列,所以 =1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n1.所以a7=答案:222nn 1n 12aaa2n2a21a21a22a2na3n23 7219.198.若在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成等差数列,其公差为d1(d10),若在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2(d20),那么 =_.12dd【解析】在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成
29、等差数列,其公差为d1,则有 x+4d1=y,在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2,则有x+5d2=y,用-可得:4d1=5d2,就有 =.答案:12dd5454三、解答题(每小题10分,共20分)9.数列an是等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,求数列an的通项公式an.【解析】a1=f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+2=x2-2x-1,a3=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x2-6x+7.因为数列an是等差数列,所以2a2=a1+a3,即0=2x2-8x+6,解得x=1或x=3.当x=1
30、时,a1=-2,a2=0,a3=2.由此可求出an=2n-4.当x=3时,a1=2,a2=0,a3=-2.由此可求出an=4-2n.综上所述:当x=1时,an=2n-4,当x=3时,an=4-2n.10.在数列an中,an+1=2an+2n,a1=1,设bn=(1)证明:数列bn是等差数列.(2)求数列an的通项公式.nn1a.2【解析】(1)将an+1=2an+2n两边同除以2n,得 +1,所以bn+1=bn+1,bn+1-bn=1,所以数列bn为等差数列,公差为1.(2)因为bn的首项b1=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+n-1=n,所以 =n,所以an=n2n-1,nN*.n1nn
31、n1aa2210a2nn1a2【补偿训练】已知数列an满足an+1=,且a1=3(nN*).(1)证明:数列 是等差数列;(2)求数列an的通项公式.nn6a4a2n1a2【解析】(1)由 得 ,nN*,故数列 是等差数列.(2)由(1)知 所以an=,nN*.nnnnn 1nnnnna2a2a24116a4a26a42a24a84a22a2（）（）（）（）n11a24，n 1n111a2a24 n1a2n1111n3n1a2a244（），2n10n3【创新迁移】1.我国古代著名的周髀算经中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六 分分之一;冬至晷(gu)长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是
32、:一年有二 十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99 分;且“冬至”时日影 长度最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度 为()16A.953 分 B.1 052 分 C.1 151 分 D.1 250 分 12132356【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为 99 分,且“冬至”时日影长度最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.从“冬至”到“立春”有:“小寒”和“大寒”,且日影长变短,所以“立春”时日影 长度为:1 350+3=1 052 (分).12161 190()122.等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求b1+b2+b10,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.【解析】(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以an的通项公式为an=252n3.5(2)由(1)知,bn=当n=1,2,3时,1 2,bn=1;当n=4,5时,2 3,bn=2;当n=6,7,8时,3 4,bn=3;当n=9,10时,4 5,bn=4.所以b1+b2+b10=13+22+33+42=24.2n3.52n352n352n352n35
