1、第1讲数系的扩充与复数的引入一、知识梳理1复数的有关概念(1)复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b(2)复数的分类复数zabi(a，bR)(3)复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)(5)复数的模向量的模叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r (r0，a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则
2、加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)常用结论(1)(1i)22i；i；i.(2)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.(3)i4ni4n1i4n2i4n30，nN.(4)|z|2|2z.二、教材衍化 1计算2i 答案：i2复数z(x1)(x2)i(xR)在复平面内所对应的点在第四象限，则x的取值范围为 答
3、案：(1，2)一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若aC，则a20.()(2)已知zabi(a，bR)，当a0时，复数z为纯虚数()(3)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(4)方程x2x10没有解()(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)复数相等概念把握不牢固致误；(2)对复数的几何意义理解有误；(3)复数的分类把握不准导致出错1若a为实数，且3i，则a()A4 B3 C3 D4解析：选D.由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因为a为实数，
4、所以a4.故选D.2在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82i C24i D4i解析：选C.因为A(6，5)，B(2，3)，所以线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z24i.故选C.3i为虚数单位，若复数(1mi)(i2)是纯虚数，则实数m等于 解析：因为(1mi)(i2)2m(12m)i是纯虚数，所以2m0，且12m0，解得m2.答案：2复数的有关概念(师生共研) (1)(2019高考全国卷 )设z，则|z|()A2 B. C. D1(2)(2020郑州市第一次质量预测)若复数(aR)的实部和虚部相等，则实数a
5、的值为()A1 B1 C. D【解析】(1)法一：z，故|z|.故选C.法二：|z|.故选C.(2)因为i，所以由题意，得，解得a，故选C.【答案】(1)C(2)C解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部1(2020安徽省考试试题)是z的共轭复数，则的虚部为()A B. C D解析：选C.zi，则i，所以的虚部为，故选C.2(2020山西八校第一次联考)已知a，bR，i为虚数单位，若3
6、4i3，则ab等于()A9 B5 C13 D9解析：选A.由34i3得，34i，即(ai)(34i)2bi，(3a4)(4a3)i2bi，则解得故ab9.故选A.复数的几何意义(师生共研) (1)(2019高考全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内所对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i(i为虚数单位)，则z1z2()A5 B5 C4i D4i【解析】(1)由已知条件，可得zxyi.因为|zi|1，所以|xyii|1，所以x2(y1)21.故选C.(2)因为复数
7、z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，所以z22i，所以z1z2(2i)(2i)5.【答案】(1)C(2)A复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观1(2020南宁摸底联考)已知(1i)zi(i是虚数单位)，那么复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选A.因为(1i)zi，所以z，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，所以复数z在复平面内对应的
8、点位于第一象限，故选A.2已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是 解析：由条件得(3，4)，(1，2)，(1，1)，根据得(3，4)(1，2)(1，1)(，2)，所以解得所以1.答案：1复数代数形式的运算(师生共研) (1)(2019高考全国卷)若z(1i)2i，则z()A1i B1i C1i D1i(2)(2020江西省五校协作体试题)已知i是虚数单位，若z，则|z|()A1 B. C2 D【解析】(1)z1i.故选D.(2)i，i，所以(i)2 018i50442i21，所以由z，得zi1，z1i，所以|z|，故选B.【答案】
9、(1)D(2)B复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化1(2020新疆乌鲁木齐一模)已知复数z1i(i是虚数单位)，则()A22i B22i C2i D2i解析：选B.因为z1i，所以22i.故选B.2若复数z满足2zz(2i)2(i为虚数单位)，则z为()A1i B12i C12i D12i解析：选B.设zabi2(abi)(abi)(abi)a2b22a2bi34ia1，b2z12i.基础题组练1(2020新
10、疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知x，yR，i为虚数单位，且xiy1i，则(1i)(xyi)()A2 B2i C4 D2i解析：选B.xiy1i，得所以x1，y1，所以(1i)(xyi)(1i)(1i)2i，故选B.2(2020辽宁辽南协作体一模)已知i是虚数单位，复数z，下列说法正确的是()Az的虚部为i Bz对应的点在第一象限Cz的实部为1 Dz的共轭复数为1i解析：选D.因为z1i，所以z的虚部为1；z对应的点的坐标为(1，1)，在第四象限；z的实部为1；z的共轭复数为1i.故选D.3(2020黑龙江齐齐哈尔二模)已知复数z是纯虚数，其中a是实数，则z等于()A2i B2i Ci Di解析
11、：选A.zi，因为z为纯虚数，所以0，0，得a2.所以z2i，故选A.4(2020云南民族大学附属中学期中)复数z满足z(1i)|1i|，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D.因为z(1i)|1i|，所以zi，所以i，所以复数z的共轭复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.5设zi(i为虚数单位)，则|z| 解析：因为ziiii，所以|z|.答案：6(2020西安八校联考)若(a，bR)与(2i)2互为共轭复数，则ab 解析：因为bai，(2i)244i134i，(a，bR)与(2i)2互为共轭复数，所以b3，a4，则ab7
12、，故答案为7.答案：77在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为 解析：因为A(1，2)关于直线yx的对称点为B(2，1)，所以向量对应的复数为2i.答案：2i8计算：(1)；(2)；(3).解：(1)i.(2)1.(3)i.综合题组练1已知复数z(cos isin )(1i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A B C D解析：选C.z(cos isin )(1i)(cos sin )(cos sin )i.z是纯虚数等价于等价于k，kZ.故选C.2(应用型)(2020成都第二次诊断性检测)若虚数(x2)yi(x，yR)的模为，则的最大值是()A. B. C. D解析：选D.因为(x2)yi是虚数，所以y0，又因为|(x2)yi|，所以(x2)2y23.因为是复数xyi对应点的斜率，所以tanAOB，所以的最大值为.3设复数z满足i，则z 解析：法一：因为i，所以12ziiz，所以zi.法二：设zabi(a，bR)，因为i，所以12(abi)ii(abi)，所以2a12bib(1a)i，所以，解得，所以zi.答案：i4已知复数z，则复数z在复平面内对应点的坐标为 解析：因为i4n1i4n2i4n3i4n4ii2i3i40，而2 01845042，所以zi，对应的点的坐标为(0，1)答案：(0，1)
