1、学习目标：会利用导数证明不等式或比较大小学习重点：导数与函数单调性的应用学习难点：构造函数利用导数证明不等式学习过程：一、 预习导航，要点指津（约3分钟）利用导数证明不等式的一般步骤如下：(1) 要将证明的不等式（与在上连续，在上可导）移项，构造函数，转化为的形式；（2） 确定函数的单调性，若，则在上单调递增， 若，则在上单调递减；（3）将单调区间的端点值代入，若函数是增函数，且， 则当时，即；若是减函数，且 ，则当时，即。引例： 已知x1，证明不等式xln(1+x)分析：构造辅助函数f(x)=x-ln(1+x)，只需证明f(x)在(1,)上递增即可证明：设 f(x)=x-ln(1+x),x1
2、，则 在上是增函数 又f(1)=1-ln21-lne=0 即二、自主探索，独立思考（约10分钟）例1. 当时，证明不等式： 证明：设 ；当时， 在上单调递增， 即 例2. 设，证明：当时， 证明：设， 则。 当时，单调递减。 又，。 当时，。 例3. 设是正实数，其中是自然对数的底，求证： 证明：，要证，只需证 即证，设，则 函数在上是减函数， 又，即 即例4. 设t0,已知函数f (x)=x2(x-t)(1)求函数f (x)的单调区间;(2)设函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率为k,当x0(0,1时,k-恒成立,求t的最大值;解:(1)f (x)=3x2-2tx=x(3x-2
3、t)0,因为t0,所以当x或x0, 所以(-,0)和(,+)为函数f (x)的单调增区间; 当0x时,f (x)0时, ,则不等式的解集为.8已知函数f(x)x2(xa)若f(x)在(2,3)上单调则实数a的范围是 (，3 ；f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的范围是_9. 已知定义域为R 的函数f (x)有一个零点为1， f (x)的导函数（1）求函数f (x)的解析式；（2）若数列an的各项均为正数，其前n项的和(nN*） ，求数列an的通项公式解：(1)因为f (x)的导函数，所以，又函数f (x)有一个零点为1，所以，所以，（2），则可求得两式相减，得，即所以，0因为，数列an的各
4、项均为正数，所以，数列an是等差数列所以，10设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的单调区间 (2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解(1)a时，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)0；当x(1,0)时，f (x)0；当x(0，)时， f(x)0.故f(x)在(，1，0，)上单调递增，在1,0上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，则g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0；若a1，则当x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，ln a)时g(x)0，即f(x)0.综上得a的取值范围为(，111. 设函数.（1）求的单调区间；（2）证明：当时，.解：（1） 当时，即函数单调递减； 当时，即函数单调递增。（2）证明：设 则； 由（1）知，当时，单调递减， 当时， 即在上单调递减，而，则 得即 .
