1、第四节 不等关系与不等式 学习要求:1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.会比较两个式子的大小.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(a,b 是实数):-0 ,-=0=,-0 1 ,=1=,1 b bb,bc ac 可加性 ab a+cb+c 可乘性 a c 0 acbc c 的符号 a c 0 ac c a+cb+d 同向同正可乘性 a 0c 0 acbd 可乘方性 ab0 anbn (nN,n1)同正 可开方性 ab0 (nN,n2)1.倒数的性质(1)ab,ab01a1b.(2)a0b1ab0,0cbd.(4)0axb 或 axb01b1xb0,m0,
2、则:(1)bab-ma-m(b-m0).(2)aba+mb+m;ab0).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)两个实数 a,b 之间,有且只有 ab,a=b,a1,则 ab.()(3)一个不等式的两边同时加上或同时乘同一个数,不等号方向不变.()(4)同向不等式具有可加性和可乘性.()(5)两个数的比值大于 1,则分子不一定大于分母.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(人教 A 版选修 5P80 习题 33A9 改编)设 A=(x-3)2,B=(x-2)(x-4),则 A 与 B 的大小关系为()A.AB B.AB C.AB D.A0,所以 AB.故选 B.3.设 ab,
3、a,b,cR,则下列结论正确的是()A.ac2bc2 B.1 C.a-cb-c D.a2b2 答案 C 当 c=0 时,ac2=bc2,所以选项 A 错误;当 b=0 时,无意义,所以选项 B 错误;因为 ab,所以 a-cb-c恒成立,所以选项 C 正确;当 a0 时,a2b,10 B.ab0 D.a+b0 答案 A 因为11,所以1-1=-b,所以 b-a0.5.下列不等式中恒成立的是 .m-3m-5;5-m3-m;5m3m;5+m5-m.答案 解析 m-3-m+5=20,故中不等式恒成立;5-m-3+m=20,故中不等式恒成立;5m-3m=2m,无法判断其符号,故中不等式不恒成立;5+m
4、-5+m=2m,无法判断其符号,故中不等式不恒成立.比较两个数(式)的大小 典例 1(1)已知 ab0,m0,则()A.=+B.+C.b0,m0,所以 b-a0,所以(-)(+)0,即-+0,所以0,b=ln22 0,所以=ln33 2ln2=2ln33ln2=ln9ln8=log891,所以 ab.名师点评 比较大小常用的方法 提醒 用作差法比较大小的关键是对差式进行变形,常用的变形有通分、因式分解、配方等.1.设 a,b0,+),A=+,B=+,则 A,B 的大小关系是()A.AB B.AB C.AB 答案 B 由题意得,B2-A2=-20,又 A0,B0,所以 AB.2.比较2+2 与
5、a+b(a0,b0)两个代数式的大小.解析 因为2+2-(a+b)=3+3-2-2=2(-)+2(-)=(-)(2-2)=(-)2(+),a0,b0,所以(-)2(+)0,故2+2 a+b.不等式的性质 1.设 a,bR,则“ab”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 当 bba|a|b|b|;当 b=0 时,显然有 aba|a|b|b|;当 b0 时,由 ab 得|a|b|,所以 aba|a|b|b|.综上可知,aba|a|b|b|,故选 C.2.若 a0b-a,cdbc;+b-d;a(d-c)b(d-c).其中
6、成立的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 因为 a0b,cd0,所以 ad0,所以 adb-a,所以 a-b0,因为 cd-d0,所以 a(-c)(-b)(-d),所以 ac+bd0,所以+=+0,故中结论正确.因为 c-d,因为 ab,所以 a+(-c)b+(-d),即 a-cb-d,故中结论正确.因为 ab,d-c0,所以 a(d-c)b(d-c),故中结论正确.故选 C.3.若 ab0,cd B.D.答案 B 因为 cd0,所以11-10.又 ab0,所以-0,所以.故选 B.4.已知 abc 且 a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是()A.a2b2c2 B.a|b|c
7、|b|C.baca D.cacb 答案 D 因为 abc 且 a+b+c=0,所以 a0,b 的符号不定,对于 ba,两边同时乘正数 c,不等号方向不变,故 cacb.名师点评 判断关于不等式命题真假的方法(1)直接运用不等式的性质:把要判断的命题和不等式的性质联系起来,找到与命题相近的性质,然后进行推理判断.(2)利用函数的单调性:当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.(3)特殊值验证:给要判断的几个式子中的变量取一些特殊值,然后进行比较、判断.不等式性质的应用 角度一 和差型表达式的取值范围 典例 2(1)已知-1x4,2y3,则
8、x-y 的取值范围是 ,3x+2y 的取值范围是 .(2)已知-1x+y4 且 2x-y3,求 3x+2y 的取值范围.答案(1)(-4,2);(1,18)解析(1)因为-1x4,2y3,所以-3-y-2,所以-4x-y2.由-1x4,2y3,得-33x12,42y6,所以 13x+2y18.(2)设 3x+2y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,则+=3,-=2,所以=52,=12,即 3x+2y=52(x+y)+12(x-y),因为-1x+y4,2x-y3,所以-5252(x+y)10,112(x-y)32,所以-3252(x+y)+12(x-y)232,即-323x
9、+2y232,故 3x+2y 的取值范围为(-32,232).角度二 积商型表达式的取值范围 典例 3 设实数 x,y 满足 3xy28,42 9,则34的最大值是 .答案 27 解析 设34=(2)(2)=xm+2ny2m-n,则+2=3,2-=-4,解得=-1,=2,34=12(2)2,3xy28,42 9,181213,16(2)281,23427,34的最大值是27.名师点评 求代数式取值范围的方法 利用不等式的性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等式关系的运算求得整体范围.已知角,满足-2-2,
10、0+,则 3-的取值范围是 .答案(-,2)解析 设 3-=m(-)+n(+)=(m+n)+(n-m),则+=3,-=-1,解得=2,=1.因为-2-2,0+,所以-2(-),故-3-b,则 ac2bc2 B.若,则 ab C.若 a3b3且 ab1 D.若 a2b2且 ab0,则1b,则 acbc2,则 ab C.若 ababb2 D.若 a0b,则|a|b,则下列不等式恒成立的是()A.a2b2 B.1 C.2a2b D.lg(a-b)0 答案 C 4.已知 x,yR,且 xy0,则下列不等式恒成立的是()A.1-10 B.sinx-siny0 C.(12)-(12)0 答案 C 5.(多
11、选题)设 ba0,cR,则下列不等式中正确的是()A.12 1-c C.+2+2 D.ac2c,bd,则下列结论正确的是()A.(a+b)2(c+d)2 B.ab+cd-ad-bc0 C.abcd D.a-bc-d 答案 B 根据 ac,bd,取 a=b=0,c=d=-1,则可排除 A,C,D.故选 B.7.(2020 河南开封期末)若 2x+log2x=4y+2log4y,则()A.x2y B.xy2 D.xy2 答案 B 根据题意 2x+log2x=4y+2log4y 变形得 2x+log2x=22y+log2y,而 22y+log2y22y+log2y+1=22y+log2(2y),则有
12、 2x+log2x22y+log2(2y),令 f(x)=2x+log2x,由指数函数和对数函数的单调性得 f(x)在(0,+)内单调递增,2x+log2x22y+log2(2y),即 f(x)f(2y),x2y.故选 B.8.(2020 广东揭阳期末)下列比较大小正确的是()A.(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)B.(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)答案 A(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2.故选 A.9.(2020 河南模拟)已知正实数 p,q,r 满足(1+p)(1+q)=(1+r)2,
13、a=,b=+2,c=2+22,则下列不等式正确的是()A.ra B.arb C.brc D.rc 答案 B(1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p+q+pq1+2+pq=(1+)2,1+r1+rar,又(1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p+q+pq1+(p+q)+(+2)2=(1+2)2,1+r1+2 r+2 rb,故选 B.B 组 能力拔高 10.已知 xyz,x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是()A.xyyz B.xzyz C.xyxz D.x|y|z|y|答案 C 因为 xyz,x+y+z=0,所以 x0,z 0,得 xyxz.故选 C.11.已知ABC 的边长分别为 a,b
14、,c,且满足 b+c3a,则的取值范围是()A.(1,+)B.(0,2)C.(1,3)D.(0,3)答案 B 由已知及三角形的三边关系得 ,+,1 ,1+,1 +3,-1 -1,将两式相加得 02b0,cd0,h(-)2.证明 cd-d0.又ab0,a-cb-d0.(a-c)2(b-d)20.01(-)21(-)2.又h(-)2.13.已知 0a12,A=1-a2,B=1+a2,C=11-,D=11+,试比较 A,B,C,D 的大小.解析 因为 0a12,所以 0a214,121-a1,11+a32.显然 AB,D1,所以 AD,同理=(1-a)(1+a2)=1-a(1-a+a2)1,所以 B
15、C,综上,DABC.C 组 思维拓展 14.若 a=1816,b=1618,则 a 与 b 的大小关系为 .答案 a0,b0,=18161618=(1816)161162=(98)16(12)16=(982)16,982(0,1),(982)161,ab.15.设 f(x)=ax2+bx,且 1f(-1)2,2f(1)4,则 f(-2)的取值范围是 .(答案用区间表示)答案 5,10 解析 f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b.设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n 为待定系数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即 4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,+=4,-=2,解得=3,=1,f(-2)=3f(-1)+f(1).1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,即 5f(-2)10.故 f(-2)的取值范围是5,10.
