1、小题必练10 计数原理与概率1掌握古典概率的基本特征，解决简单的概率实际问题，借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件，以及随机事件的概率2能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据，重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养3了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1【2020全国新高考卷】名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（）A种B种C种D种【答案】C
2、【解析】【点睛】本题主要考查计数原理的相关知识，考查数学运算2【2020全国II卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为志愿者每人每天完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者（）A名B名C名D名【答案】B【解析】由题意知超市第二天能完成份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过份订单的概率为，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，至少需要
3、志愿者（名），故选B【点睛】本题主要考查概率知识在生活中的应用，考查数学运算和数据分析一、单选题1某电视台一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A种B种C种D种【答案】B【解析】最前排甲，共有种，最前只排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选B2某班班会准备从甲、乙等名学生中选派名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的和数为（）ABCD【答案】C【解析】根据题意，分种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有种情况；若甲乙两人都参加，有种情况，其中甲乙相邻的有种情况，则不
4、同的发言顺序种数为种，故选C3某校毕业典礼由个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A种B种C种D种【答案】A【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分种情况讨论：甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列，安排在其他三个位置，有安排方法，则此时有种编排方法；甲
5、排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丁、丙相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法，则符合题意要求的编排方法有种，故选A4若二项式的展开式中的系数是，则实数（）ABCD【答案】C【解析】二项式的展开式，即的展开式中项的系数为，所以，令，解得，代入得，解得，故选C5展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为（）ABCD【答案】D【解析】展开式中，各项系数之和为，时，展开式中的一项为，的此项为，展开式中的常数项为，故选D6“暑假”期间，三个家庭（每家均为一对夫妇和一个孩子）去“沈阳世博园”游玩，在某一景区前合影留念，
6、要求前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率是（）ABCD【答案】B【解析】前排站三个小孩，后排为三对夫妇的排列为种，前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致，故有种，故每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率，故选B7已知集合，若从集合中任取个不同的数，则这三个数可以作为三角形三边长的概率为（）ABCD【答案】B【解析】不妨设取出的三个数为，且，若，能够成三角形，则有以下几种情况；当时，；当时，；当时，一共有组，所求的概率为8中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他
7、民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）ABCD【答案】A【解析】分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为，该正方形的边长为，则对于正方形的对角线而言，可以分为三个部分，第一个部分为正方形的对角线上的顶点到圆心的距离，两圆的圆心距，对角线上顶点到圆心的距离，故，解得，故概率，故选A二、多选题9为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周则（）A
8、某学生从中选门，共有种选法B课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法C课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法D课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法【答案】CD【解析】门中选门共有种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确10已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，则下列说法正确的是（）A所有项的系数之和为B所有项的系数之和为C含的项的系数为D含的项的系数为【答案】AC【解析】二项式展开式通项为：，因
9、为展开式中第项与第项的二项式系数之比是，所以，解得；则该二项式为，令，则所有项的系数之和为，故A正确，B错误；则展开式的通项公式为，令，则，因此含的项的系数为，故C正确，D错误11一袋中有大小相同的个红球和个白球，给出下列结论：从中任取球，恰有一个白球的概率是；从中有放回的取球次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；现从中不放回的取球次，每次任取球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为则其中正确命题的序号是（）ABCD【答案】ABD【解析】一袋中有大小相同的个红球和个白球，从中任取球，恰有一个白球的概率是，故正确；从
10、中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；现从中不放回的取球次，每次任取球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为，则至少有一次取到红球的概率为，故正确12如图所示的电路中，只箱子表示保险匣分别为、箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（）A所在线路畅通的概率为B所在线路畅通的概率为C所在线路畅通的概率为D当开关合上时，整个电路畅通的概率为【答案】BD【解析】由题意知，、保险闸被切断的概率分别为，所以、两个盒子畅通的概率为，因此A错误；、两个盒子并联后畅
11、通的概率为，因此C错误；、三个盘子混联后畅通的概率为，B正确；根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为，D正确三、填空题13（北京市海淀区2018年高三一模）社区主任要为小红等名志愿者和他们帮助的位老人拍照，要求排成一排，小红必须与位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是_（用数字作答）【答案】24【解析】首先小红必须与位老人都相邻有种排法，将三人看成一个整体，从剩下的名志愿者中选出两人排在两端有种，剩下的一名志愿者与小红等三人可乱排有种，根据分步计数原理可得不同的排法种数种14(广东省东莞市2018届高三上学期期末数学试卷)，则的值为_【答案】【解析】由题意得，取，代入
12、二式项得，15（山西省忻州一中、临汾一中2020届联考）是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点，连接，则弦的长度超过的概率是_【答案】【解析】根据题意可得，满足条件：“弦的长度超过”对应的弧，其构成的区域是圆的，故弦的长度超过的概率16已知，满足约束条件，且的最小值为（1）常数_；（2）向上述不等式组所表示的平面区域内随机投石子，则石子落在该区域内的最大圆内的概率为_【答案】（1）；（2）【解析】由的几何意义可知，当经过与的交点时，取得最小值，故，解得（2）由（1）可知，在直角坐标系内画出可行域如图，易求得，而为等腰直角三角形，且斜边，其内切圆半径，所以平面区域内圆的最大面积是，又平面区域的面积，所以所求概率
