1、专题04 导 数一、选择题1已知函数，则A在单调递增 B在单调递减C的图像关于直线对称 D的图像关于点对称C【解析】由，知，在上单调递增，上单调递减，排除A、B；又，所以的图象关于对称，C正确2函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A BCDD【解析】由导函数的图象可知，的单调性是减增减增，排除 A、C；由导函数的图象可知，的极值点一负两正，所以D符合，选D3若函数在单调递增，则的取值范围是A B C DC【解析】函数在单调递增，等价于在恒成立设，则在恒成立，所以，解得故选C4已知为函数的极小值点，则A4 B2 C4 D2D【解析】因为，令，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递
2、增所以故选D5(2018全国卷)设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A B C DD【解析】通解 因为函数为奇函数，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点 处的切线方程为故选D优解一 因为函数为奇函数，所以，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为故选D优解二 易知，因为为奇函数，所以函数为偶函数，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为故选D6若函数(e=271828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是A B C DA【解析】对于选项A， 则，)在R上单调递增，具有M性质对于选项B，令，
3、得或；令，得，函数在和上单调递增，在上单调递减，不具有M性质对于选项C，则，在R上单调递减，不具有M性质对于选项D，则在R上不恒成立，故在R上不是单调递增的，所以不具有M性质7若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是A B CDA【解析】设两个切点分别为，选项A中，当时满足，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.8设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是A(0,1) B(0,2) C (0,+) D(1,+ )A【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的
4、斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即分别令得又与的交点为，故选A9已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ）AB CD【答案】C【解析】由题意知函数的定义域为，因为恰有一个极值点为，所以有且只有一个解，即是它的唯一解，也就是说另一个方程无解.令，则，所以函数在上单增，从而，所以，当时，无解，恰有一个极值点，所以实数的取值范围是故选：C10已知函数，若，则的取值范围是（）ABCDC【解析】不妨设，设，由题意可知，函数的图象与直线有两个交点，其中，由，即，解得，由，即，解得，记，其中，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.所以函数的最小值为；而，即.故选:C11设函数，则
5、（ ）A有极大值B有极小值C有极大值D有极小值【答案】B【解析】，定义域为，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，故选：B.12已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是ABCD【答案】C【解析】解：由题意可得，恒成立，当时，显然满足题意，当时，则根据二次函数的性质可得，解可得，综上可得，故选：二、填空题13已知函数为的导函数，则的值为_.3【解析】14已知函数，(其中)对于不相等的实数，设，现有如下命题：对于任意不相等的实数，都有；对于任意的及任意不相等的实数，都有；对于任意的，存在不相等的实数，使得；对于任意的，存在不相等的实数，使得其中真命题有_(写出所有真命题的序号)【解析
6、】因为在上是单调递增的，所以对于不相等的实数，恒成立，正确；因为，所以=，正负不定，错误；由，整理得令函数，则，令，则，又，从而存在，使得，于是有极小值，所以存在，使得，此时在上单调递增，故不存在不相等的实数，使得，不满足题意，错误；由得，即，设，则，所以在上单调递增的，且当时，当时，所以对于任意的，与的图象一定有交点，正确15(2018全国卷)曲线在点处的切线方程为_【解析】由题意知，所以曲线在点处的切线斜率，故所求切线方程为，即16(2018天津)已知函数，为的导函数，则的值为_【解析】 由题意得，则17曲线在点处的切线方程为_【解析】，又，所以切线方程为，即18已知，设函数的图象在点处的
7、切线为，则在y轴上的截距为 1【解析】，切点为，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为三、解答题19（2018全国卷）已知函数(1)设是的极值点求，并求的单调区间；(2)证明：当时，【解析】(1)的定义域为，由题设知，所以从而，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增(2)当时，设，则 当时，；当时，所以是的最小值点故当时，因此，当时，20（2018浙江）已知函数(1)若在，()处导数相等，证明：；(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点【解析】(1)函数的导函数，由得，因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以160+所以在上单调递增，故，即(2)令，则，所以
8、，存在使，所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点由得设，则，其中由(1)可知，又，故，所以，即函数在上单调递减，因此方程至多1个实根综上，当时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点21（2018全国卷）已知函数(1)若，求的单调区间；(2)证明：只有一个零点【解析】(1)当时，令解得或当时，；当时，故在，单调递增，在单调递减(2)由于，所以等价于设，则，仅当时，所以在单调递增故至多有一个零点，从而至多有一个零点又，故有一个零点综上，只有一个零点22（2018北京）设函数(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求；(2)若在处取得极小值，求的取值范围【解析】(1)因为，所以，由题设知，即，解得(2)方法一
9、：由(1)得若，则当时，；当时，所以在处取得极小值若，则当时，所以所以1不是的极小值点综上可知，的取值范围是方法二：()当时，令得随的变化情况如下表：1+0极大值在处取得极大值，不合题意()当时，令得当，即时，在上单调递增，无极值，不合题意当，即时，随的变化情况如下表：1+00+极大值极小值在处取得极大值，不合题意当，即时，随的变化情况如下表：+00+极大值极小值在处取得极小值，即满足题意()当时，令得随的变化情况如下表：0+0极小值极大值在处取得极大值，不合题意综上所述，的取值范围为23（2018全国卷）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，【解析】(1)，因此曲线在点处的
10、切线方程是(2)当时，令，则当时，单调递减；当时，单调递增；所以因此24（2018江苏）记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”(1)证明：函数与不存在“点”；(2)若函数与存在“点”，求实数a的值；(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由【解析】(1)函数，则，由且，得，此方程组无解，因此，与不存在“点”(2)函数，则设为与的“点”，由且，得，即，（*）得，即，则当时，满足方程组（*），即为与的“点”因此，的值为(3)对任意，设因为，且的图象是不间断的，所以存在，使得令，则函数，则由且，得，即，（*）此时，满足方程组（*），即是函数与在
11、区间内的一个“点”因此，对任意，存在，使函数与在区间内存在“点”25（2018天津）设函数，其中，且是公差为的等差数列(1)若 求曲线在点处的切线方程；(2)若，求的极值；(3)若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围【解析】(1)由已知，可得，故，因此，=1，又因为曲线在点处的切线方程为，故所求切线方程为(2)由已知可得故令=0，解得，或当变化时，的变化如下表：(，)(，)(，+)+00+极大值极小值所以函数的极大值为；函数小值为(3)曲线与直线有三个互异的公共点等价于关于的方程有三个互异的实数解，令，可得设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个零点当时，这时在R上单调递
12、增，不合题意当时，=0，解得，易得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值=0的极小值=若，由的单调性可知函数至多有两个零点，不合题意若即，也就是，此时， 且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意所以的取值范围是 26已知函数（）求的导函数；（）求在区间上的取值范围【解析】（）因为，所以（）由解得或因为x（，1）1（1，）（，）-0+0-0又，所以在区间上的取值范围是27已知函数有极值，且导函数 的极值点是的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；【解析】(1)由,得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点
13、.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，故在R上是增函数，没有极值；时，有两个相异的实根，.列表如下+00+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.（2）由（1）知，设，则当时，所以在上单调递增因为，所以，故，即因此（3）由（1）知,的极值点是，且，.从而记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，.因为，于是在上单调递减.因为，于是，故.因此的取值范围为.28已知函数()当时，求曲线在点处的切线方程；()设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【解析】（）由题意，所以，当时，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即（）因为所以，令，则，所以在上单调递增，因此，所以，
14、当时，；当时（1） 当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增所以，当时，取到极大值，极大值是，当时，取到极小值，极小值是（2） 当时，当时，单调递增；所以，在上单调递增，无极大值也无极小值（3） 当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增所以，当时，取到极大值，极大值是；当时，取到极小值，极小值是综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是29已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值
15、和最小值【解析】（）因为，所以又因为，所以曲线在点处的切线方程为（）设，则当时，所以在区间上单调递减所以对任意有，即所以函数在区间上单调递减所以当时，有最小值，当时，有最大值30已知函数（1）若时，讨论的单调性；（2）设，若有两个零点，求的取值范围【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】（1）易知的定义域为，且，对于，又，若时，在上是增函数；若时，得,在和上是增函数，在上是减函数.（2）由，定义域为且当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；当时，得，在上单调递增，在上单调递减要使有两个零点，则，由解得此时易知当时，令，令，所以，时，在为增函数，在为增函数，所以函数在
16、与各存在一个零点。综上所述，.31设函数，其中为正实数.(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，证明.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意得设，则，当时，即时， ， 所以函数在上单调递增，满足题意；当时，即时，则的图象的对称轴因为，所以在上存在唯一实根，设为，则当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，此时，不合题意综上可得，实数的取值范围是（2）等价于因为，所以，所以原不等式等价于，由(1)知当时，在上恒成立，整理得令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，即在上恒成立.所以，当时，恒有，32已知（1）当时，求函数在点，处的切线方程；（2）若函数在区间上有极小值点，且总
17、存在实数，使函数的极小值与互为相反数，求实数的取值范围【答案】（1）x+y+20 （2）【解析】解：（1）当时，又，故切线方程为，即；（2），易知，函数在上单减，在上单增，函数的极小值点为，由已知，即，故在区间上总存在使得，即，设，则，当时，函数在上单减，则，即，实数的取值范围为33已知函数有两个极值点，其中.（）求实数的取值范围；（）当时，求的最小值.【答案】（）；（）【解析】（）依题意得的定义域为，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根，所以，解得，此时在和上单调递增，在上单调递减，所以实数的取值范围是.（）因为，是方程的两个根，所以，因为，所以，所以.令，则，即在上单调递减.因为，所以，所以，即，所以，即，所以，所以.因为在上单调递减，所以的最小值为，即的最小值为.
