1、 2015年5月高三模拟考试理科数学试卷一选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则A B C. D. 2下列说法中正确的是A命题“若，则”的逆命题是真命题B命题，,则， C. “”是“”成立的充分条件D.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为0.63.若是纯虚数，则的值为A B C. D.或4已知，则函数为增函数的概率是A B C. D. 5对任意非零实数、,若的运算原理如右图所示，则的值为A B C. D.6某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 A B C.
2、 D.7的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在方向上的投影为A B C. D. 8关于函数和实数、的下列结论中正确的是 A 若3mn，则f（m）f（n） B 若mn0，则f（m）f（n） C 若f（m）f（n），则m2n2 D 若f（m）f（n），则m3n39已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=A. B. C. 3 D. 210某种波的传播是由曲线来实现的，我们把函数解析式称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加.已知“1 类波”中的两个波叠加后仍是“1类波”，则的值可能为A . B. C. D. 二填空题：本大题共6小题，
3、考生作答5个小题每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11在极坐标中，直线被圆与所截得的弦长为 12如右图，是的外接圆，延长到点，连结交于点，连结，若,则的大小为 13若两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 （二）必做题（1416题） 14若 ，则的展开式中常数项为 .15.若数列满足，则称数列为“梦想数列”. 已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是 。16已知函数是上的减函数，且的图象关于点成中心对称若满足不等式组则的最小值为 。三解答题：本大题共6小题，共75分 解答应写出
4、文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）ABCDEFGH已知正方形的边长为2，分别是边的中点（）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；（）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望 18（本小题满分12分）在数列中，其前项和为，满足（）求数列的通项公式;（）设（为正整数）,求数列的前项和19（本小题满分12分） 如图，已知长方形中，,为的中点.将沿折起，使得平面平面.A （）求证：；（）若点是线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为20(本小题满分13分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间（秒）的变化规律大致可用（为
5、时间参数，的单位：）来描述，其中地面可作为轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为轴。（）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；（）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？21(本小题满分13分) 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点与左右两焦点，构成的三角形中面积的最大值为 （）求椭圆的标准方程；（）已知点，联结与椭圆的另一交点记为，若与椭圆相切则视为、重合，联结与椭圆的另一交点记为，求的取值范围.22(本小题满分13分) 已知函数，( I ) 若函数在
6、其定义域内为单调函数，求的取值范围;( II ) 若函数的图像在x=1处的切线斜率为0，且 ，（，） 证明：对任意的正整数n,当时，有.2015年5月高三模拟考试理科数学参考答案110： CCCBB； DCCAD112 121314、 15、4 16、ABCDEFGH17解：（）所有点构成的平面区域是正方形的内部，其面积是 满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、为半径、圆心角为的扇形的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（和）内部构成其面积是所以满足的概率为 6分（）从这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的
7、线段其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条所以所有可能的取值为且， ， ， 所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望为 12分18解:（）由题设得:,所以所以 2分当时，,数列是为首项、公差为的等差数列故 5分（）由（）知: 6分 9分设则两式相减得：整理得： 11分所以 12分19解：（）证明：连接BM，则AM=BM=，所以又因为面平面，所以， 4分（）建立如图所示的空间直角坐标系由（I）可知，平面ADM的法向量设平面ABCM的法向量， 所以， 10分二面角的余弦值为得，即：E为DB的中点。 12分20解：（）当时， 因时
8、，故，从而当，即当时，有最小值5，所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是 6分（）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：，（）问题转化为在，的条件下，求的最大值。 9分法一：，由和及得： 12分法二：，=当，即，由可解得：。 12分答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。 13分21解：（）由题可知：， 解得：，故椭圆的方程为： 5分 （）不妨设， 由题意可知直线的斜率是存在的，故设直线的斜率为，直线的斜率为的方程为：代入椭圆方程 得 将 代入解得： 7分 的方程为：代入椭圆方程 得 将，代入解
9、得： 9分 又 ，不重合， 10分 = () 12分 13分22解：（）函数的定义域是因为所以有所以 分 分当时，恒成立，所以函数在上单调递减;分当时，若函数在其定义域内单调递增，则有恒成立即因为所以 且时不恒为0 分若函数在其定义域内单调递减，则有恒成立即因为所以 综上，函数在定义域内单调时的取值范围是 分（）因为函数的图像在x=1处的切线斜率为0，所以即所以所以 分令 说明此处可有多种构造函数的方法，通所以 分 常均需要讨论是奇数还是偶数当是偶数时，因为所以可参照答案所示每种情况酌情赋分所以所以即函数在单调递减所以，即 分当是奇数时，令则所以函数在单调递减，所以 11分又因为时所以所以即函数在单调递减 12分所以，即综上，对任意的正整数n,当时，有. 13分
