1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评五十七双曲线(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020合肥模拟)已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,且经过点,则该双曲线的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.y2-=1【解析】选B.对于A选项,双曲线的渐近线方程为y=x,不符合题意.对于B选项,双曲线的渐近线方程为y=2x,且过点,符合题意.对于C选项,双曲线的渐近线为y=2x,但不过点,不符合题意.对于D选项,双曲线的渐近线为y=x,不符合题意.2.(201
2、9全国卷)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若=,则PFO的面积为()A.B.C.2D.3【解析】选A.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;在PFO中,|PO|=|PF|,过点P作PHOF,垂足为H,因为tanPOF=得到PH=;所以SPFO=.3.已知曲线-=1(a0,b0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的方程为()A.x2-y2=B.x2-y2=1C.x2-y2=D.x2-y2=2【解析】选D.由已知,若曲线-=1(a0,b0)为等轴双曲线,则a2=b2,c=a,即焦点的坐标为(a,0);渐近线方程为xy=0,若焦点到渐近线的
3、距离为,则=a=,双曲线的标准方程为-=1,即x2-y2=2.4.(2018全国卷I)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则=()A.B.3C.2D.4【解析】选B.渐近线方程为-y2=0,即y=x,所以MON=.因为OMN为直角三角形,假设ONM=,如图,则kMN=,所以直线MN方程为y=(x-2).联立解得所以N,即ON=,因为MON=,所以|MN|=3.5.已知椭圆+=1(m0)与双曲线-=1(n0)有相同的焦点,则m+n的取值范围是 ()A.(0,6 B.3,6 C.(3,6 D.6,9)【解析】选
4、C.由题意可知m225 ,则0m0 知:当m=0 时, (m+n)min=3 ,且m+n=3 为无法取到的临界点,综上可得: m+n的取值范围是(3,6 .6.已知F1,F2分别为双曲线C: -=1的左、右焦点, P为双曲线C右支上一点,且|PF1|=2|PF2|,则PF1F2外接圆的面积为()A.B.C.D.【解析】选D.双曲线C:-=1的两个焦点F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,a=2,由|PF1|=2|PF2|,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由双曲线的性质知,2x-x=4,解得x=4,所以|PF1|=8,|PF2|=4,因为|F1F2|=6,所以cosF1PF2
5、=,所以sinF1PF2=,所以PF1F2外接圆的半径为=,所以PF1F2外接圆的面积为.7.(2020杭州模拟)已知椭圆C1:+=1(ab0)与双曲线C2:-=1(m0,n0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且F1PF2=60,若椭圆e1=,则双曲线C2的离心率e2=世纪金榜导学号()A.B.C.3D.4【解析】选B.设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s-t=2m,解得s=a+m,t=a-m,在F1PF2中,F1PF2=60,可得4c2=s2+t2-2stcos 60=a2+m2+2am+a2+m2-2am-(a2-
6、m2),即有a2+3m2=4c2,可得+=4,即+=4,由e1=,可得e2=.二、填空题(每小题5分,共10分)8.双曲线+=1的焦距为_.【解析】由题意可得(25-k)(9-k)0,解得9k0,9-k0,b0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为_.【解析】因为渐近线方程为y=x,所以=,抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,因此双曲线的一个焦点为(-6,0),其半焦距c=6,由双曲线的性质c2=a2+b2,所以a2=9,b2=27,故方程为-=1.答案:-=1三、解答题10.(10分)已知双曲线-=1,过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直
7、线与双曲线交于A,B两点.若AOB是锐角三角形(O为坐标原点),求实数m的取值范围.世纪金榜导学号【解析】由题意得A,Bm,-2,所以=,=,因为AOB是锐角三角形,所以AOB是锐角,即与的夹角为锐角,所以0,即m2-+40,解得-2m2.因为过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点,所以m,故实数m的取值范围是(-2,-)(,2).(15分钟35分)1.(5分)已知双曲线-=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD 的面积为2b,则双曲线的方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1【解析
8、】选D.不妨设A(x0,y0)在第一象限,由已知由得=,所以=,由得b2=12.所以双曲线的方程为-=1.【变式备选】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1(x)B.-=1(x-)C.+=1(x)D.+=1(x-)【解析】选A.设动圆的半径为r,由题意可得|MC1|=r+,|MC2|=r-,所以|MC1|-|MC2|=2=2a,故由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2a=2的双曲线的右支上,即a=,c=4b2=16-2=14,故其标准方程为-=1(x).2.(5分)过
9、双曲线-=1(a0,b0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,与双曲线的两条渐近线交于C,D两点,若|AB|CD|,则双曲线离心率的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选B.将x=c代入-=1,得y=,不妨取A,B,则|AB|=,将x=c代入y=x,得y=,不妨取C,D,则|CD|=.因为|AB|CD|,所以,即bc,则b2c2,又c2-a2=b2,所以c2-a2c2,即c2a2,则e2,则e.【变式备选】(2020武汉模拟)已知A,B,C是双曲线-=1(a0,b0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BFAC且2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是 ()A.B
10、.C.D.【解析】选B.设左焦点为F,|AF|=m,连接AF,CF,则|FC|=2m,|AF|=2a+m,|CF|=2a+2m,|FF|=2c,因为BFAC,且AB经过原点O,所以四边形FAFB为矩形,在RtAFC中,|AF|2+|AC|2=|FC|2,代入(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2,化简得m=,所以在RtAFF中,|AF|2+|AF|2=|FF|2,代入+=(2c)2,化简得= ,即e=.3.(5分)P是双曲线C:x2-y2=2左支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F2是双曲线C的右焦点,则|PF2|+|PQ|的最小值为()A.B.C.3D.2+【解
11、析】选C.由题知|PF2|-|PF1|=2a=2,则|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|+2,由对称性,当F1,P,Q在同一直线上时|PF1|+|PQ|最小,由渐近线方程y=x,|F1O|=2知|F1Q|=,则|PF2|+|PQ|的最小值为3.4.(10分)(2019福州模拟)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=x,过点P.世纪金榜导学号(1)求双曲线C的标准方程.(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线l的方程;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=x,设双曲线方程为x2-=(0),过点P,代入可得=1,
12、所求双曲线方程为x2-=1.(2)假设直线l存在.设B(1,1)是弦MN的中点,且M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.因为M,N在双曲线上,所以所以2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,所以4(x1-x2)=2(y1-y2),所以k=2,所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,联立方程组 ,得2x2-4x+3=0,因为=16-432=-8b0),则根据题意知双曲线的方程为-=1且满足解方程组得所以椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)由(1)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,设M(x0,y
13、0),则由=得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x0-5,2y0).将M,P坐标代入椭圆和双曲线方程,得消去y0,得2-5x0-25=0.解之,得x0=-或x0=5(舍去).所以y0=.由此可得M,所以P(-10,3).当P为(-10,3)时,直线PA的方程是y=(x+5),即y=-(x+5),代入+=1,得2x2+15x+25=0.所以x=-或-5(舍去),所以xN=-,xN=xM,MNx轴.所以S四边形ANBM=2SAMB=210=15.1.(2020上饶模拟)过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的右支于点P,切点为T,PF1的中点M在第一象限,则以
14、下结论正确的是()世纪金榜导学号A.b-a=|MO|-|MT| B.b-a|MO|-|MT|C.b-a0,b0)的左、右焦点为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,过点F1且与l1垂直的直线分别交l1及l2于P,Q两点,若满足=+,则双曲线的离心率为世纪金榜导学号()A.B.C.2D.【解析】选C.因为-=1(a0,b0)的左、右焦点为F1,F2,所以F1(-c,0),F2(c,0),双曲线的两条渐近线方程为y=-x,y=x,因为过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q.又因为=+,所以点P是线段F1Q的中点,且PF1OP,所以过F1的直线PQ的斜率kPQ=,所以过F1的直线PQ的方程为y=(x+c),解方程组,得P,所以|PF1|=|PQ|=b,|PO|=a,|OF1|=|OF2|=|OQ|=c,|QF2|=2a,因为tanQOF2=,所以cos QOF2=,由余弦定理,得cos QOF2=1-=,即e2-e-2=0,解得e=2或e=-1(舍).关闭Word文档返回原板块
