1、2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1经过圆（x+1）2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）Ax+y1=0Bx+y+1=0Cxy1=0Dxy+1=02设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若mn，m，则nD若m，则m3已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥PABC的体积为（）ABCD4平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A2x+y+5=0
2、或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=05直三棱锥ABCA1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）ABCD6已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定7设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A108B100C92D849空间四边
3、形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（）A30B60C90D12010已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥ABCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A7B19CD11直线y=kx+1与圆x2+y2+kxy=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A0B1C2D312已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y1）2=上的动点，点N是圆O2：（x2）2+y2=上的动点，则|PN|PM|的最大值是（）A1B2C2+D2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，
4、共20分）13圆x2+y2+2x4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=14圆C1：x2+y22mx+m24=0与圆C2：x2+y2+2x4my+4m28=0相交，则m的取值范围是15在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为16已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为三、解答题：（本大题共6小题，合计70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图在三棱锥SABC中，ABC是边长为2的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，M为AB
5、的中点（I）证明：ACSB；（）求点B到平面SCM的距离18如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点（1）求证：BD1平面AEC（2）求异面直线BC1与AC所成的角19已知圆C经过点A（1，1）和B（4，2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上（）求圆C的标准方程；（）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程20如图为一组合几何体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD且PD=AD=2EC=2（I）求证：AC平面PDB；（II）求四棱锥BCEPD的体积；（III）求该组合体的表面积21如图所示，在四棱锥PABCD中
6、，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形（）求二面角PABC的大小；（）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由22设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y22x4=0（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1经过圆（x+1）2+y2
7、=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）Ax+y1=0Bx+y+1=0Cxy1=0Dxy+1=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】先求得圆心坐标为（1，0），根据直线x+y=0的斜率为1，可得所求直线的斜率为1，用点斜式求得所求的直线的方程【解答】解：由于（x+1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），直线x+y=0的斜率为1，故所求直线的斜率为1，故所求的直线的方程为 y0=1（x+1），即x+y+1=0，故选B2设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若mn，m，则nD若m，则m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空
8、间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误【解答】解：A、m，n，则mn，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m，m，则，还有与可能相交，所以B不正确；C、mn，m，则n，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确D、m，则m，也可能m，也可能m=A，所以D不正确；故选C3已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥PABC的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分
9、析】P到平面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式计算即可【解答】解：BP=BD1，P到平面ABCD的距离d=DD1=，VPABC=故选：C4平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A2x+y+5=0或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=0【考点】圆的切线方程【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y5=0故选：A5直三棱锥ABCA1B1C1
10、中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，从而求出向量，的坐标，从而BM与AN所成角的余弦值为|=【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；BM与AN所成角的余弦值为故选：D6已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A
11、相切B相交C相离D不确定【考点】直线与圆的位置关系【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系【解答】解：M（a，b）在圆x2+y2=1外，a2+b21，圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=1=r，则直线与圆的位置关系是相交故选B7设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的
12、位置关系【分析】由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得【解答】解：选项A，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故A错误；选项B，若，m，n，则mn，或m，n异面，故B错误；选项C，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m，mn，则n，再由n可得，故D正确故选D8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A108B100C92D84【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得
13、到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：663=108，棱锥的体积为：434=8，故组合体的体积V=1088=100，故选：B9空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（）A30B60C90D120【考点】异面直线及其所成的角【分析】由题意画出图形，得到异面直线AC和BD所成的角（或补角），由余弦定理求解得答案【解答】解：如图，取AD中点G，连接MG，NG，AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点
14、，NG=5，MG=3，又MN=7，cosMGN=，cosMGN=120，则异面直线AC和BD所成的角等于60故选：B10已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥ABCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A7B19CD【考点】球的体积和表面积【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积【解答】解：BCD中，BD=1，CD=1，BC=，所以BDC=120，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=1，AD是球的弦，DA=，OM=，球的半径OD=该球的表面积为：4OD2=7；
15、故选：A11直线y=kx+1与圆x2+y2+kxy=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A0B1C2D3【考点】直线与圆相交的性质【分析】联立直线与圆的方程得到一个方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，由直线与圆的两交点关于y轴对称，得到两交点的横坐标互为相反数，即横坐标相加为0，利用韦达定理表示出两根之和，令其等于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：（k2+1）x2+2kx=0，设方程的两根分别为x1，x2，由题意得：x1+x2=0，解得：k=0故选A12已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y1）2=上的动点，点N是圆O
16、2：（x2）2+y2=上的动点，则|PN|PM|的最大值是（）A1B2C2+D2【考点】两点间的距离公式【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求PNPM的最大值转化为PO2PO1+1的最大值，再利用PO2PO1=PO2PO1O1O2=1，即可求出对应的最大值【解答】解：如图所示，圆O1：x2+（y1）2=的圆心O1（0，1），圆O2：（x2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；要使PNPM最大，需PN最大，且PM最小，由图可得，PN最大值为PO2+，PM的最小值为PO1，故PNPM最大值是（PO2+）（PO1）=PO2PO1+1，点P（t，t）在直线 y=x上，O
17、1（0，1）关于y=x的对称点O1（1，0），直线O2O1与y=x的交点为原点O，则PO2PO1=PO2PO1O1O2=1，故PO2PO1+1的最大值为1+1=2，即|PN|PM|的最大值为2故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13圆x2+y2+2x4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=3【考点】关于点、直线对称的圆的方程【分析】求出圆的圆心代入对称轴方程即可求出a的值【解答】解：圆x2+y2+2x4y+1=0的圆心（1，2）；圆x2+y2+2x4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，可得：a+2+1=0，解得a=3故答案为：314圆C1：x2+y22mx+m2
18、4=0与圆C2：x2+y2+2x4my+4m28=0相交，则m的取值范围是（0，2）或【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】先把圆的方程整理才标准方程，进而可知两圆的圆心坐标和半径，进而根据两圆心的距离小于半径之和，大于圆心距离之差，最后取交集答案可得【解答】解：整理圆C1得（xm）2+y2=4，整理圆C2得（x+1）2+（y2m）2=9C1的圆心为（m，0），半径为2，圆C2：圆心为（1，2m），半径为3，两圆相交圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之故答案为：（0，2）或15在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆
19、的标准方程为（x1）2+y2=2【考点】圆的标准方程；圆的切线方程【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程【解答】解：圆心到直线的距离d=，m=1时，圆的半径最大为，所求圆的标准方程为（x1）2+y2=2故答案为：（x1）2+y2=216已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为15【考点】直线与圆相交的性质【分析】由圆的方程找出圆心坐标为（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，再由M的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d12+d22=OM2，由M和O的坐标，利用两点间的距离公式
20、求出OM2，进而得到d12+d22的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d12+d22的值代入，即可得到面积的最大值【解答】解：圆O：x2+y2=9，圆心O坐标（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，M（1，），则d12+d22=OM2=12+（）2=3，又|AC|=2，|BD|=2四边形ABCD的面积S=|AC|BD|=218（d12+d22）=183=15，当且仅当d12 =d22时取等号，则四边形AB
21、CD面积的最大值为15故答案为：15三、解答题：（本大题共6小题，合计70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图在三棱锥SABC中，ABC是边长为2的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，M为AB的中点（I）证明：ACSB；（）求点B到平面SCM的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质【分析】（）欲证ACSB，取AC中点D，连接DS、DB，根据线面垂直的性质定理可知，只须证ACSD且ACDB，即得；（）设点B到平面SCM的距离为h，利用等体积法：VBSCM=VSCMB，即可求得点B到平面SCM的距离【解答】（）证明：如图，取AC的中点D，连接DS，DBSA
22、=SC，BA=BC，ACDS，且ACDB，DSDB=D，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB （）解：SDAC，平面SAS平面ABC，SD平面ABC如图，过D作DECM于E，连接SE，则SECM，在RtSDE中，SD=1，DE=，SE=CM是边长为2的正ABC的中线，CM=设点B到平面SCM的距离为h，则由VBSCM=VSBCM得，18如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点（1）求证：BD1平面AEC（2）求异面直线BC1与AC所成的角【考点】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角【分析】（1）利用线面平行的判定定理进行证明（2）连结AD1、CD1，可证出四边形AB
23、C1D1是平行四边形，得BC1AD1，得D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角等边AD1C中求出D1AC=60，即得异面直线AC与BC1所成角的大小【解答】解：（1）连结BD交AC于O，则O为BD的中点，连EO，因为E是DD1的中点，所以EOBD1，又EO面AEC，BD1面AEC，所以BD1平面AEC（2）连结AD1、CD1，正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1AD1，由此可得D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角AD1C是等边三角形，D1AC=60，即异面直线AC与BC1所成角的大小为6019已知圆C经过点A（1，1）和
24、B（4，2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上（）求圆C的标准方程；（）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（）根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；（）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r，可以设p的坐标为（m，1m），结合直线与圆的位置关系可得（m1）2+（m1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐标，分析可得直线MN的斜率为1，由直线的点斜式方程可得答案【解
25、答】解：（）A（1，1），B（4，2）直线AB的斜率直线AB的垂直平分线的斜率为1 又线段AB的中点坐标为线段AB的垂直平分线的方程是，即xy3=0圆心C在直线l：x+y+1=0上圆心C的坐标是方程组的解，得圆心C的坐标（1，2）圆C的半径长圆C的标准方程是（x1）2+（y+2）2=9（）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为rM，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1=0对称点P在直线l：x+y+1=0上可以设点P坐标为（m，1m）以MN为直径的圆经过原点O以MN为直径的圆的半径长MN是圆C的弦，|CP|2+r2=9，即（m1）2+（m1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=1或点P
26、坐标为（1，0）或直线MN垂直直线l：x+y+1=0，直线MN的斜率为1直线MN的方程为：xy+1=0或xy4=020如图为一组合几何体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD且PD=AD=2EC=2（I）求证：AC平面PDB；（II）求四棱锥BCEPD的体积；（III）求该组合体的表面积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定【分析】（）由已知结合线面垂直的性质可得PDAC，又底面ABCD为正方形，得ACBD，再由线面垂直的判定得AC平面PDB；（）由PD平面ABCD，可得面PDCE面ABCD，进一步得到BC平面PDCE求出S梯形PD
27、CE，代入棱锥体积公式求得四棱锥BCEPD的体积；（）求解直角三角形得PBE的三边长，再由三角形面积公式可得组合体的表面积【解答】（）证明：PD平面ABCD，PDAC，又底面ABCD为正方形，ACBD，BDPD=D，AC平面PDB；（）解：PD平面ABCD，且PD面PDCE，面PDCE面ABCD，又BCCD，BC平面PDCES梯形PDCE=（PD+EC）DC=32=3，四棱锥BCEPD的体积VBCEPD=S梯形PDCEBC=32=2；（）解：BE=PE=，PB=2，SPBE=2=又SABCD=22=4，SPDCE=3，SPDA=2，SBCE=1，SPAB=2，组合体的表面积为10+2+21如图
28、所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形（）求二面角PABC的大小；（）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质【分析】（）设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN，推导出PMAB，MNAB，从而PMN为二面角PABC的平面角，由此能求出二面角PABC的大小（）设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC，推导出MFPN，CDMF，从而MF平面PCD，推导出四边形EMFG为平行四边形，从而EG
29、平面PCD，由此得到存在点E，使平面PCE平面PCD，此时E为线段MB的中点【解答】解：（）如图，设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PNPA=PB，M是AB的中点PMAB又在正方形ABCD中有MNABPMN为二面角PABC的平面角，AB=2，M是AB的中点PM=2同理可得PN=2，又MN=2PMN是等边三角形，故PMN=60二面角PABC为60，（）存在点E，使平面PCE平面PCD，此时E为线段MB的中点理由如下 如图，设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC由（）知PMN是等边三角形，故MFPNCDMN，CDPN，MNPN=NCD平面PMN，故CDM
30、F又CDPN=NMF平面PCDF，G分别为PN和PC的中点FG=又E为线段MB的中点FG=ME，故四边形EMFG为平行四边形EGMFEG平面PCD又EG平面PCE平面PCE平面PCD22设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y22x4=0（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y22x4=0的内部，进而得到b的取值范围；（2）b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值【解答】解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y22x4=0的内部，即b240，解得：2b2；（2）当b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，由M：x2+y22x4=0的半径r=，故|AB|的最大值为2，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，|AB|=2=2，故|AB|的最小值为22017年1月6日
