1、第3章 数系的扩充与复数的引入 综合检测 (时间:120分钟;满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填在题中横线上)1(2011年高考四川卷改编)复数i_.解析:iii2i.答案:2i2复数的值为_解析:i.答案:i3(2011年高考天津卷改编)i是虚数单位,复数_.解析:2i.答案:2i4已知复数z1abi,z21ai(a,bR),若|z1|z2,则b的取值范围是_解析:因为|z1|z2,所以z2为实数,故a0,所以1,即|b|1,所以1b1,所以b的取值范围是(1,1)答案:(1,1)5设a是实数,且是实数,则a等于_解析:i,0,a1.答案:16(20
2、11年高考湖北卷改编)i为虚数单位,则()2011_.解析:i,()2011i2011i45023i3i.答案:i7已知z2i,则|z2|等于_解析:|z2|(2i)2(2i)|34i2i|53i|.答案:8集合M1,2,(m22m5)(m25m6)i,N3,10,且MN,则实数m的值为_解析:因为MN,所以(m22m5)(m25m6)i3,或(m22m5)(m25m6)i10,由(m22m5)(m25m6)i3,得解得m2;由(m22m5)(m25m6)i10,得解得m3.所以m的值为2或3.答案:2或39已知2i,则|z|_.解析:(1i)(2i)13i,z13i,|z|.答案:10(20
3、11年高考大纲全国卷改编)复数z1i,为z的共轭复数,则zz1_.解析:z1i,1i,z|z|22,zz12(1i)1i.答案:i11若(a2i)ibi,其中a,bR,i是虚数单位,则a2b2等于_解析:(a2i)ibi,即2aibi,所以a1,b2,故a2b25.答案:512设a,b,c,dR,则复数(abi)(cdi)为实数的充要条件是_解析:因为(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,a,b,c,dR,所以复数(abi)(cdi)为实数的充要条件是adbc0.答案:adbc013设复数z12i,z213i,则复数的虚部等于_解析:原式ii.答案:114若zC且|z22i|1,则|
4、z22i|的最小值是_解析:由|z22i|1表示以C(2,2)为圆心,1为半径的圆,|z22i|的最小值是指点A(2,2)到圆的最短距离(如图),显然|AB|AC|13,即为最小值答案:3二、解答题(本大题共6小题,共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)m为何实数时,复数z(2i)m23(i1)m2(1i)是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数?解:z(2i)m23(i1)m2(1i)2m2m2i3mi3m22i(2m23m2)(m23m2)i.(1)由m23m20得m1或m2,即m1或m2时z为实数(2)由m23m20,即m1且m2,即m1且m2时,
5、z为虚数(3)由,得m.即m时,z为纯虚数16(本小题满分14分)已知复数z(m2m1)(4m28m3)i(mR)的共轭复数对应的点在第一象限,求实数m的集合解:由题意得(m2m1)(4m28m3)i.因为对应的点位于第一象限,所以即解得所以m,所以m的集合为.17(本小题满分14分)已知虚数z满足条件|z|1,z22z0,求虚数z.解:设zxyi(y0,x,yR),|z|1,x2y21,则z22z(xyi)22(xyi)(x2y23x)y(2x1)i.又y0,由得zi.18(本小题满分16分)已知复数zxyi(x,yR)满足z(12i)z(12i)3,求复数z在复平面上对应点的轨迹解:zxy
6、i(x,yR),z(12i)z(12i)x2y2(12i)(xyi)(12i)(xyi)x2y2xyi2xi2yxyi2xi2yx2y22x4y(x1)2(y2)253,(x1)2(y2)28,z对应点的轨迹是以(1,2)为圆心,2为半径的圆19(本小题满分16分)已知复数z1满足(1i)z115i,z2a2i,其中i为虚数单位,aR,若|z1|z1|,则a的取值范围是多少?解:由题意得z123i,于是|z1|23ia2i|,|z1|,所以,化简得a24a80,解得22a22.20(本小题满分16分)设复数z满足4z23i,wsinicos(R),求复数z和|zw|的取值范围解:设zabi(a,bR)代入已知得4(abi)2(abi)3i,即6a2bi3i,根据复数相等的充要条件,得即所以zi.|zw|(i)(sinicos)|(sin)(cos)i| .因为1sin()1,所以0|zw|2.故所求的复数为zi,|zw|的取值范围是0,2高考资源网w w 高 考 资源 网