1、第3讲分类讨论、转化与化归思想一、分类讨论思想分类讨论的原则分类讨论的常见类型1.不重不漏2.标准要统一，层次要分明3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论1.由数学概念而引起的分类讨论2.由数学运算要求而引起的分类讨论3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论4.由图形的不确定性而引起的分类讨论5.由参数的变化而引起的分类讨论分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论典型例题 设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1，2，3，)，则q的取值范围是_【解析】由an是等比数列，Sn0
2、，可得a1S10，q0，当q1时，Snna10.当q1时，Sn0，即0(n1，2，3，)，则有或由得1q1.故q的取值范围是(1，0)(0，)【答案】(1，0)(0，)本题易忽略对q1的讨论，而直接由0，得q的范围，这种解答是不完备的本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q1，Snna1和q1，Sn进行讨论 对点训练1一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直线的方程为()Axy70B2x5y0Cxy70或2x5y0Dxy70或2y5x0解析：选C设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a0时，直线过原点，此时直线方程为yx，即2x5y0；当a0时，设直线方程为1，则求得a7
3、，直线方程为xy70.2若函数f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_解析：若a1，则a24，a1m，故a2，m，此时g(x)，为减函数，不合题意；若0a0，函数f(x)是(，)上的单调递增函数；当a0时，由f(x)0得xln a，若x(，ln a)，则f(x)0；若x(ln a，)，则f(x)0，所以函数f(x)在(，ln a)上单调递增，在(ln a，)上单调递减(2)f(x)e2xaex，设g(x)ex，则g(x).当x0，g(x)0，所以g(x)在(，0)上单调递增当x0时，1e2x0，g(x)0，所以g(x)在(
4、0，)上单调递减所以g(x)maxg(0)1，所以a1.故a的取值范围是1，)(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论(2)分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏” 对点训练1设f(x)若f(a)f(a1)，则f()()A2B4C6D8解析：选C当0a1，f(a)，f(a1)2(a11)2a，因为f(a)f(a1)，所以2a，解得a或a0(舍去)所以f()f(4)2(41)6.当a1时，a12，所以f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)
5、2a，所以2(a1)2a，无解综上，f()6.2设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解：(1)因为f(x)ax2(3a1)x3a2ex，所以f(x)ax2(a1)x1ex.f(2)(2a1)e2.由题设知f(2)0，即(2a1)e20，解得a.(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.若a1，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值若a1，则当x(0，1)时，ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)应
6、用三由图形位置或形状引起的分类讨论典型例题 (1)已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k()ABC0D或0(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线C的离心率等于_【解析】(1)不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kxy10与y轴或y2x垂直时才满足结合图形可知斜率k的值为0或.(2)不妨设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若该
7、曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.【答案】(1)D(2)或(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论(2)相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论 对点训练1过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条B2条C3条D4条解析：选C因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件；当直线l与实轴垂直时，有31，解得y2或y2，此时直线AB的
8、长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条综上，可知有3条直线满足|AB|4.2设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则的值为_解析：(1)若PF2F190，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又因为|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，所以.(2)若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，所以|PF1|4，|PF2|2，所以2.综上知，的值为或2.答案：或2二、转化与化归思想转化与化归的原则常见的转化与
9、化归的方法1.熟悉化原则2.简单化原则3.直观化原则4.正难则反原则1.直接转化法2.换元法3.数形结合法4.构造法5.坐标法6.类比法7.特殊化方法8.等价问题法9.加强命题法10.补集法转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法应用一一般与特殊的相互转化典型例题 (1)过抛物线yax2(a0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A2aBC4a D(2)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_【解析】(1)抛物线yax2(a0)的标
10、准方程为x2y(a0)，焦点F.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|QF|，所以4a.(2)由题意，不妨设b(2，0)，a(cos ，sin )，则ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin )，令y|ab|ab|，则y210216，20由此可得(|ab|ab|)max2，(|ab|ab|)min4，即|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.【答案】(1)C(2)42(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以
11、把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案 对点训练已知函数f(x)(a3)xax3在1，1上的最小值为3，则实数a的取值范围是()A(，1B12，)C1，12 D解析：选D当a0时，函数f(x)3x，x1，1，显然满足条件，故排除A、B；(注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0，1往往是首选)当a时，函数f(x)x3x，f(x)x2(x21)，当1x1时，f(x)0，所以f(x)在1，1上单调递减，所以f(x)minf(1)3，满足条件，故排除C综上，选D应用二正与反的相互转化典型例题 若对于任意t1，2，函数g(x)x3x22x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_【解析】
12、由题意得g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t，3)上恒成立，所以m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t，3)上恒成立，则m49，即m.所以函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为m0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故a1.2若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1，1内至少存在一个值c，使得f(c)0，则实数p的取值范围是_解析：如果在1，1内没有值满足f(x)0
13、，则p3或p，故实数满足条件的p的取值范围为.答案：应用三常量与变量的相互转化典型例题 已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数对任意a1，1，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_【解析】由题意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.由题意得即解得x4xp3成立的x的取值范围是_解析：设f(p)(x1)px24x3，则当x1时，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4时恒为正等价于即解得x3或x0恒成立，则即解得log2x3，即0x8，故x的取值范围是(8，)答案：(8，)应用四形、体位置关系的相互转化典型例题 在平行六面体
14、ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.【证明】(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1A1B.因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC，又因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC
15、.形体位置关系的转化是针对几何问题采用的一种特殊转化方法主要适用于涉及平行、垂直的证明，如线面平行、垂直的推理与证明就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化 对点训练1如图，在棱长为5的正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积()A是变量且有最大值B是变量且有最小值C是变量且有最大值和最小值D是常数解析：选D点Q到棱AB的距离为常数，所以EFQ的面积为定值由C1D1EF，可得棱C1D1平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数2已知三
16、棱锥PABC中，PABC2，PBAC10，PCAB2，则三棱锥PABC的体积为_解析：因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，易知三棱锥PABC的各棱分别是此长方体的面对角线不妨令PEx，EBy，EAz，则由已知，可得从而知VPABCVAEBGFPDCVPAEBVCABGVBPDCVAFPCVAEBGFPDC4VPAEB681046810160.答案：160应用五函数、方程、不等式间的相互转化典型例题 已知函数f(x)3e|x|.若存在实数t1，)，使得对任意的x1，m)，mZ，且m1，都有f(xt
17、)3ex，求m的最大值【解】因为当t1，)，且x1，m时，xt0，所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命题等价转化为存在实数t1，)，使得不等式t1ln xx，对任意x1，m)恒成立令h(x)1ln xx(x1)因为h(x)10，所以函数h(x)在1，)上为减函数又x1，m)，所以h(x)minh(m)1ln mm，t值恒存在，只需1ln mm1.因为h(3)ln 32lnln 1，h(4)ln 43lnln 1，且函数h(x)在1，)内为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为3.(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助(2)解决函数的问题需要方程、
18、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求参变量的范围 对点训练1已知e为自然对数的底数，若对任意的x，总存在唯一的y1，1，使得ln xx1ay2ey成立，则实数a的取值范围是()ABC D解析：选B设f(x)ln xx1a，当x时，f(x)0，f(x)是增函数，所以x时，f(x)；设g(y)y2ey，则g(y)eyy(y2)，则g(y)在1，0)上单调递减，在0，1上单调递增，且g(1) g(1)e.因为对任意的x，总存在唯一的y1，1，使得f(x)g(y)成立，所以，解得0对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围为_解析：设f(x)x(x0)，则f(x)x24(当且仅当x2时，等号成立)因为关于x的不等式x1a22a0对x(0，)恒成立，所以a22a14恒成立，解得1a3，所以实数a的取值范围为(1，3)答案：(1，3)
