1、高考资源网（） 您身边的高考专家微专题5平面向量中的求值问题真 题 感 悟(2019江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O.若6，则的值是_.解析法一如图，过点D作DFCE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点.又BE2EA，则知EFEA，从而可得AOOD，则有()，所以6()22，整理可得232，所以.法二以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.O.6，(3，0)(a，b)6(a1，b)，即3a6，a2b23，AC.答案考 点 整 合1.平面向量的两个充要条
2、件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.2.平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .3.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是12(其中121).(2)三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是().(3)三角形重心坐标的求法：G为ABC的重心0G.热点一平面向量的坐标运算【例1】 (1)(2019全
3、国卷改编)已知向量a(2，3)，b(3，2)，则|ab|_.(2)(2019全国卷改编)已知(2，3)，(3，t)，|1，则_.解析(1)ab(2，3)(3，2)(1，1)，|ab|.(2)因为(3，t)(2，3)(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1，0)，所以21302.答案(1)(2)2探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.【训练1】 已知向量，则ABC_.解析|1，|1，cosABC，又0ABC180，则ABC30.答案30热点二平面向量的“基向量法”运算【例2】 (1)(2019
4、南京一模)在ABC中，ABC120，BA2，BC3，D，E是线段AC的三等分点，则的值为_.(2)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_.解析(1)由题意得()()22923cos 1204.(2)法一如图，所以2222cos 1201，解得2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(，0)，D(，0).由BC3BE，DCDF，可求点E，F的坐标分别为E，F，21，解得2.答案(1)(2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表
5、示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.【训练2】 (2019天津卷)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_.解析如图，E在线段CB的延长线上，EBAD.DAB30，ABE30.AEBE，EAB30.又AB2，BE2.AD5，.又，()22|cos 3052(2)252101221221.答案1热点三向量平行与垂直【例3】 (1)(2019南京冲刺卷)已知向量a(2，1)，b(0，1).若(ab)a，则实数_.(2)(2018全国卷)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若c(2ab)，则_.解析(1)由题意可得ab(2，
6、1)，则(ab)a(2，1)(2，1)50，解得5.(2)2ab(4，2)，因为c(1，)，且c(2ab)，所以124，即.答案(1)5(2)探究提高向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，通过解方程求解.若没有给出向量的坐标，则将向量用基底表示，ab转化为ab，ab转化为ab0求解.【训练3】 (2019南京、盐城高三模拟)设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中0，0，且ab与ab互相垂直.(1)求实数的值；(2)若ab，且tan 2，求tan 的值.解(1)由ab与ab互相垂直，可得(ab)(ab)a2b20，所以cos22sin210.又因为sin2cos21
7、，所以(21)sin20.因为0，所以sin20，所以210.又因为0，所以1.(2)由(1)知a(cos ，sin ).由ab，得cos cos sin sin ，即cos().因为0，所以0，所以sin().所以tan()，因此tan tan().【新题感悟】 (2019南京、盐城高三模拟)已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足()4.若AD，则的值为_.解析设DPC，DPB，由题得4，|cos |cos 4，所以|4，|2.所以|cos()|(cos cos sin sin )|4|24()22.答案2一、填空题1.(2019全国卷)已知向量a(2，2)
8、，b(8，6)，则cosa，b_.解析a(2，2)，b(8，6)，ab2(8)264，|a|2，|b|10.cosa，b.答案2.(2019徐州期末)已知平面向量a(4x，2x)，b，xR，若ab，则|ab|_.解析因为ab，所以4x2x4x2x20，解得2x2(舍)或2x1，故a(1，1)，b(1，1)，故ab(0，2)，故|ab|2.答案23.(2019杭州模拟)已知平面向量a(2，1)，ab10，若|ab|5，则|b|_.解析因为50|ab|2|a|2|b|22ab520|b|2，所以|b|5.答案54.(2019全国卷改编)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的
9、夹角为_.解析由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cosa，b.0a，b，a与b的夹角为.答案5.(2019南京高三一模)在矩形ABCD中，已知AB，AD2，点E是BC的中点，点F在CD上，则的值是_.解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，E(，1)，设F(x，2)(0x)，则(x，2)，又(，0)，故由得：x，解得：x1，所以(1，2)，(1)2.答案6.(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_.解析因为0，所以ABCD，又点C
10、为AB的中点，D为以AB为直径的圆C的圆周上的点，所以BAD.设直线l的倾斜角为，直线AB的斜率为k，则tan 2，ktan3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y3(x5)，又A为直线l：y2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得所以点A的横坐标为3.答案37.(2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_.解析如图，设m，n，则在ODC中有ODm，DCn，OC，OCD45.由tan 7，得cos ，又由余弦定理知即得42nm0，即m105n，代入得12n249n490，解得n或n.当
11、n时，m1050(不合题意，舍去)，当n时，m105，故mn3.答案38.(2016江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_.解析设a，b，则(a)(b)ab4.又D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则()ab，ab，ab，aabab，babab，则a2b2ab(a2b2)41.可得a2b2.又aabab，babab，则(a2b2)ab4.答案二、解答题9.(2019南京模拟)已知向量m(cos ，1)，n(2，sin )，其中，且mn.(1)求cos 2的值；(2)若sin()，且，求角的值.解(1)由mn，得2cos sin 0，si
12、n 2cos ，代入cos2sin21，得5cos21，又，则cos ，cos 22cos21.(2)由，得.因为sin()，所以cos()，而sin ，则sin sin()sin cos()cos sin().因为，所以.10.(2019镇江模拟)已知向量a(2cos ，sin2)，b(2sin ，t)，t为实数.(1)若ab，求t的值；(2)若t1，且ab1，求tan的值.解(1)因为向量a(2cos ，sin2)，b(2sin ，t)，且ab，所以cos sin ，tsin2.由cos sin ，得(cos sin )2，即12sin cos ，从而2sin cos .所以(cos si
13、n )212sin cos .因为，所以cos sin ，所以sin ，所以tsin2.(2)因为t1，且ab1，所以4sin cos sin21，即4sin cos cos2.因为，所以cos 0，从而tan ，所以tan 2，所以tan.11.(2019南通调研)在平面直角坐标系xOy中，设向量a(cos ，sin )，b(sin ，cos )，c.(1)若|ab|c|，求sin()的值；(2)设，0，且a(bc)，求的值.解(1)因为a(cos ，sin )，b(sin ，cos )，c，所以|a|b|c|1，且abcos sin sin cos sin().因为|ab|c|，所以|ab|2c2，即a22abb21，所以12sin()11，即sin().(2)因为，所以a.依题意，bc.因为a(bc)，所以0.化简得sin cos ，所以sin.因为0，所以.所以，即.高考资源网版权所有，侵权必究！
