1、数 学 思 想 方 法专 题 一 世界数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直 到 最 后 成 功 地 找 到 某 些 有 用 的 东 西 为止”他认为，解题过程就是“转化”过程，因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一 所谓化归与转化的思想是指在研究数学问题时，采用某种手段与方法将问题从一种数学情景转化到另一种情景，进而使问题在新情景下得到解决的一种解题策略一般情况，总是将未解决的问题化归转化为已解决的问题 化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，在解决数学问题过程中无处不存在的基本思想方法，数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与
2、方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法、换元法等都是转化的手段 222130()A2 B2C3 D3xxa xaaaaa 对于任意的，不等式恒成立，则实数 的取值范例1.围是 R 2222222130231231xa xxaxxf xx由条件易知原不等式恒成立等价于 的最小值，因此问题转化为求函数的分析：最小值考点1 代数问题的转化 222222222minmin2130231231211111211)C33.xa xxaxxf xxxxtxf xg tt
3、ttg tf xg ta 不等式 恒成立等价于 的最小值，而，令，则，且，而在，上为增函数，故，所以 ，解析：故选 ()()af xaf xf x代数问题的解决常常要通过转化来解决，其转化类型有函数与方程的互化、数与式的互化、变量与常量之间的互化等在转化过程中必须注意转化前后的等价性本题为含有参数的不等式恒成立问题中求参数的取值范围，一般可以转化为参数或只含有参数的代数式的值恒大小 于含有未知数的代数式对应的函数的最大小 值，如恒成立等价于的最小值，此时求出的最小值即可【评析】得结果22202_xyxyxxy已知，满足，则的最大值、变最小值分别为式题：R2222()202222021,0|21
4、0|12225255252212.xyxyxtxyyxtyxtxyxyyxyxttt ，可看做是圆上的动点令，则，即将问题转化为直线，经过圆上的点，在 轴上截距何时最大与最小？只需求出直线与圆相切时解析：的最大值、最小值分的值即可易知圆心坐标为，故有，解得或，所以别为，()6A arcsin 33B.arccos23C.arctan 222Darccot 2EFGABCDABBCCDCFGE如图，设、分别是正四面体的棱、的中点，则二面角的大小是 例2.考点2 几何问题的转化 CFGE若按常规法求解须作出二面角的平面角，但在具体作时却有一定的难度考虑这是一个正四面体，其各棱相等与正方体的对角线相
5、等有内在的联系，因此可将正四面体补形为正方体分析:来解决tan2arctan 2arcta2.DnABBCCDEFGEFGBCDCONCMCOMCOMOMCON如果把正四面体补成正方体，则、都是面对角线，中点、即是各面的中心，则平面是与正方体的一个表面平行的一个平面，而平面是正方体中三条面对角线组成的截面，因此，所要求的二面角实质上是正方体中，截面与底面所成角中的一个钝角，即图中的，而，所以，故解，析：选()()()几何问题之间的转化常常涉及几何图形的“割”与“补”的转化、立体图与平面图的“折”与“展”的转化、立体几何中的“垂直”与“平行”、“线线平行 垂直、线面平行 垂直、面面平行 垂直”之
6、间的转化、解析几何中的位置关系【评析】的转化2PABCaaAPBPCDEADE如图所示三棱锥的底面边长为，侧棱长为，过 作与、分别交于、的截面求截面三角形的周长的变式题：最小值PAADElADDEEAAAADDEEAADEAAADEPPMBCMBC 将三棱锥沿剪开，展开摊平在一个平面上，易知的周长，即当、在一条直线上时，对应的截面的周长最短，则下图中线段的长度是的周长的解最小值过 作析，为：则的中点311.4/23123423.23/.44ADEaaADADAEAAPMPMBCAA BCADEAABDEEaADaABDPBCBDBCPBaPDPDaDE BCDEBAaaCPB 因为正三棱锥各侧
7、面为全等的等腰三角形，其展开图是一个对称图形，则，且有，所以，所以，所以，所以，所以由，得，所以又由，截面周得故长的最小值为()367376A.B.38538519218C.D.385385ABCDA B C Dp 以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率 为 选 备例题：5656“”以平行六面体的八个顶点中任取三点为顶点可以构成个三角形，从这个三角形中任取两个，这两个三角形不共面有多少种不同取法？直接去做较困难，若利用“化归转化”数学思想，采用 正与反的相互转化，正难则反，从问题的反面入手，找出共面的三角形的对数，问题分析：较易解决3835
8、624C56C28 5512C12 6(28 55 12 6)4 3673674 385ABCDA B C DABCDA B C Dp 以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形共有个，从中随机取出两个三角形共有种取法，其中两个三角形共面的为，故不共面的两个三角形共有种取法，所以以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率解析：.385A，故选()()当问题从正面入手难以解决时，常采用“正与反的相互转化”，从问题的反面入手，将不符合条件的情况去掉 这在排列组合、概率题中常用，或验证问题的反面不成立 反证法，从而使问题得【评析】以解决 12213运用
9、化归与转化的思想解题需明确三个问题：明确化归对象，即对什么问题转化；认清化归目标，即化归到何处去；把握化归方法，即如何进行化归利用化归与转化的思想解答数学问题的一般过程：12(3)345运用化归与转化的思想解题的途径：借助函数进行转化；借助方程 组 进行转化；借助辅助命题进行转化；借助等价变换进行转化；借助几何特征进行转化4熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系“抓基础，重转化”是
10、学好中学数学的金钥匙5为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题 612应用化归思想应注意的问题注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标以及化归的方法、途径三个要素，因此化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是解题的关键注意转化的等价性，确保逻辑上的正确转化与化归包括等价转化和非等价转化，等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必
11、要的修正，如果在解题过程中没有注意转化的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误 12224A1,1 B(1)C(1)1 D().(2011)f xfxfxf xx 函数的定义域为，对任意，则的解集为，辽宁，卷RR 2411242202200(1)24(1)B.F xf xxFfxfxFxfxF xF xf xx 设，则，又对任意，所以，即在 上单调递增，则 的解集为，即的解集为，解析：故选RR 212326313232.(20112319.112loglog)lognnnnnaaaaa aabaaabn等比数列的各项均为正数，且，求数列的通项公式；辽宁设，求数列的前卷项和 22223263412111199.910.3123123111.3.3nnnnaqaa aaaqqqaaaa qaaa设数列的公比为解析：数列，由，得，所以由的通项公式为条件可知，故由，得，所以故 31323logloglog1(12)212112()1111112111122(1)()()2212.1211nnnbaaan nnbnn nnnbbbnnnnnnnnb ，故则数列的前 项和为，所以
