1、章末评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若，则C的坐标是()A. B.C. D.解析：设点C坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)又(3，2，4)，所以x，y，z.答案：A2对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有关系式623，则()AO，A，B，C四点共面BP，A，B，C四点共面CO，P，B，C四点共面DO，P，B，C四点共面解析：由623得2()3()，所以23，所以A，P，B，C四点共面答案：B3已知a(2x，
2、1，3)，b(1，2y，9)，如果a与b为共线向量，则()Ax1，y1 Bx，yCx，y Dx，y答案：C4已知i，j，k为单位正交基底，a3i2jk，bij2k，则5a与3b的数量积等于()A15 B5 C3 D1解析：a(3，2，1)，b(1，1，2)，所以5a3b15ab15.答案：A5若a(0，1，1)，b(1，1，0)，且(ab)a，则实数的值是()A1 B0 C1 D2解析：ab(，1，1)由(ab)a知(ab)a0，所以0(1)1(1)(1)0，解得2.答案：D6已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为()A. B. C. D.
3、解析：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，D(0，1，0)，AB，SD，所以SO1，所以S(0，0，1)，所以E，(0，1，1)所以cos，所以AE与SD所成角的余弦值为.答案：C7在平行六面体ABCD-EFGH中，若x2y3z，则xyz等于()A. B. C. D1解析：，又x2y3z，则x1，y，z，则xyz1.答案：C8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()A(1，2，4) B(4, 1，2)C(2，2，1) D(1，2，2)答案
4、：B9在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量所成的角为()A60 B150 C90 D120解析：由条件知，|a，|a，()()|2|2a2，所以cos，.所以向量与所成的角为120，故选D.答案：D10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()A30 B45 C60 D90解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设该正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A1(2，0，2)，M(0，1，0)，N(0，2，1)，(2，1，2)，(0，2，1)所以c
5、os，0，所以异面直线A1M与DN所成角的大小是90.答案：D11.如图，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A. B.C. D.解析：如图，作BDAP于点D，作CEAP于点E.设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.因为，所以2222222，所以，所以cos，.答案：C12.如图，在四棱锥PABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，点E在棱PA上，且PE2EA，则平面ABE与平面BED所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线
6、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz(图略)，则B(0，0，0)，A(0，3，0)，P(0，0，3)，D(3，3，0)，E(0，2，1)，所以(0，2，1)，(3，3，0)设平面BED的一个法向量为n(x，y，z)，则即所以令z1，则n.因为平面ABE的一个法向量为m(1，0，0)，所以cosn，m，即平面ABE与平面BED所成角的余弦值为.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，若，为基底，则_解析：()().答案：14空间中，若向量a(5，9，m
7、)，b(1，1，2)，c(2，5，1)共面，则m_解析：因为向量a，b，c共面，所以存在实数，使得abc，即(5，9，m)(，2)(2，5，)(2，5，2)所以解得所以m24.答案：415在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2，1)已知点P(1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于_解析：d2.答案：216如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，BC边上存在点Q，使得PQQD，则实数a的取值范围是_解析：设APb，BQx(x0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，则即可取n1.n2(1，0，0)为平面DAE
8、的一个法向量由题意有|cosn1，n2|，即，解得m或m(舍去)因为E是PD的中点，所以三棱锥EACD的高为，三棱锥EACD的体积V.22(本小题满分12分)在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如图(1)，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD，如图(2)(1)求证：CDAB.(2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由图(1)图(2)(1)证明：由已知条件可得BD2，CD2，CDBD.因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD.所以CD平面
9、ABD.又因为AB平面ABD，所以CDAB.(2)解：以D为坐标原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图由已知条件可得D(0，0，0)，A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，(0，2，0)，(1，0，1)设平面ACD的一个法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以可得令x1，得平面ACD的一个法向量为n(1，0，1)因为(1，1，0)，所以点M到平面ACD的距离d.(3)解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60. 设，01，则N(22，2，0)，所以(12，2，1)因为平面ACD的一个法向量为n(1，0，1)，且直线AN与平面ACD所成角为60，所以sin 60，可得82210，所以或(舍去)综上可知，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60，此时.
