1、全国卷五年考情图解高考命题规律把握 1.考查形式本章在备考中一般为 23 个客观题.2.考查内容(1)对向量的考查，主要考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、向量的数量积及应用，难度为容易或中档.(2)高考主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加、减、乘、除四则运算，其中复数的运算是高考的热点，一般为选择题.3.备考策略(1)深刻理解并掌握向量的线性运算、向量的数量积、向量的模及夹角的运算.(2)掌握复数的概念、复数的模、共轭复数、复数的几何意义及四则运算.第一节 平面向量的概念及线性运算最新考纲 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解
2、向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形
3、法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a与 b 的差三角形法则aba(b)数乘求实数 与向量 a 的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a的方向相同；当 0 时，a的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0(a)()a；()aa a；(ab)ab3.共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 ba.常用结论1若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP 12(OA OB)2.OA OB OC(，为实数)O 不在直线 AB 上，若点 A，B，C 共线，则 1.3一
4、般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量 4与非零向量 a 共线的单位向量为 a|a|.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反()(2)若向量AB与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上()(3)若 ab，bc，则 ac.()(4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1如图，ABCD 的对角线交于点 M，若ABa，AD b，用
5、 a，b 表示MD 为()A.12a12bB.12a12bC12a12bD12a12bD 由题意可知BD AD ABba，又BD 2MD，MD 12(ba)12b12a，故选 D.2对于非零向量 a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 若 ab0，则 ab，所以 ab.若 ab，则 ab0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件3已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OA a，OB b，则DC，BC.(用 a，b 表示)ba ab 如图，DC ABOB OA ba，BCOC OB OA OBab.4在平行四边形
6、ABCD 中，若|ABAD|ABAD|，则四边形 ABCD 的形状为矩形 如图，因为ABAD AC，ABAD DB，所以|AC|DB|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形考点 1 平面向量的概念 辨析向量有关概念的 5 个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线 1.给出下列命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若 a0(为实数)
7、，则 必为零；已知，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4A 错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当 a0 时，无论 为何值，a0.错误当 0 时，ab，此时，a 与 b 可以是任意向量2给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则 ab 或 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，且ABDC，则 ABCD 为平行四边形；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；其中真命题的序号是 错误两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等
8、；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点 错误|a|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等或相反 正确因为ABDC，所以|AB|DC|且ABDC；又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形 错误当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，所以|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件(1)只要不改变向量 a 的大小和方向，可以自由平移 a，平移后的向量与a 相等(2)在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧考点 2 平面向量的线性运算 向量线性运算的解题策略(1
9、)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 向量的线性运算(1)(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC(2)(2019皖南八校联考)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB2AD2DC，E 为BC 边上一点，BC3EC，F 为 AE 的中点，则BF()A.13AB23AD B23
10、AB13ADC13AB23AD D.23AB13AD(1)A(2)B(1)EB AB AE AB 12AD AB 1212(AB AC)34AB 14AC，故选 A.(2)根据平面向量的运算法则得BF12BA12BE，BE23BC，BCACAB.因为ACAD DC，DC 12AB，所以BF12AB13AD 12ABAB 23AB13AD，故选 B.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解 根据向量线性运算求参数(2019山西师大附
11、中模拟)在ABC 中，AN14NC，P 是直线 BN 上一点，若APmAB25AC，则实数 m 的值为()A4 B1 C1 D4B AN14NC，AC5AN.又APmAB25AC，APmAB2AN，由 B，P，N 三点共线可知，m21，m1.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值 1.(2019西宁模拟)如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2DB，点 E 在 AD 边上，且 AD3AE，则用向量AB，AC表示CE为()A.29AB89ACB.29AB89ACC.29AB79ACD.29
12、AB79ACB 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE AEAC 13AD AC13(AB13BC)AC 13AB13(ACAB)AC 29AB89AC.2(2019枣庄模拟)设 D 为ABC 所在平面内一点，AD 13AB43AC，若BCDC(R)，则()A2 B3 C2 D3D 由BCDC 可知ACAB(ACAD)，AD 11 AC1AB，又AD 13AB43AC，113，1143.解得 3，故选 D.3在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BNNC.若MN xAByAC，则 x；y.12 16 MN MC CN 13AC12CB 13AC12(ABAC)12AB16AC x
13、AByAC，x12，y16.考点 3 共线向量定理的应用 共线向量定理的 3 个应用证明向量共线对于向量 a，b，若存在实数，使 ab(b0)，则 a 与 b 共线 证明三点共线若存在实数，使ABAC，则 A，B，C 三点共线 求参数的值利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线解(1)证明：ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，BD BCCD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD 共线，
14、又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)kab 和 akb 共线，存在实数，使 kab(akb)，即 kabakb，(k)a(k1)b.a，b 是两个不共线的非零向量，kk10，k210，k1.母题探究 若将本例(1)中“BC2a8b”改为“BCamb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？解 BCCD(amb)3(ab)4a(m3)b，即BD 4a(m3)b.若 A，B，D 三点共线，则存在实数，使BD AB.即 4a(m3)b(ab)4，m3，解得 m7.故当 m7 时，A，B，D 三点共线 利用向量共线定理解决问题应注意 2 点(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只
15、有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线 1.在四边形 ABCD 中，ABa2b，BC4ab，CD 5a3b，则四边形 ABCD 的形状是()A矩形B平行四边形C梯形D以上都不对C 由已知，得AD ABBCCD 8a2b2(4ab)2BC，故AD BC.又因为AB与CD 不平行，所以四边形 ABCD 是梯形2已知向量 e10，R，ae1e2，b2e1，若向量 a 与向量 b 共线，则()A0 Be20Ce1e2De1e2 或 0D 因为向量 e10，R，ae1e2，b2e1，又因为向量 a 和 b 共线，存在实数 k，使得 akb，所以 e1e22ke1，所以 e2(2k1)e1，所以 e1e2 或0.3已知 O 为ABC 内一点，且AO 12(OB OC)，AD tAC，若 B，O，D 三点共线，则 t()A.14B.13C.12D.23B 设 E 是 BC 边的中点，则12(OB OC)OE，由题意得AO OE，所以AO 12AE14(ABAC)14AB14tAD，又因为 B，O，D 三点共线，所以1414t1，解得t13，故选 B.
