1、考点集训(二十七)第27讲平面向量的基本定理及坐标运算对应学生用书p230A组题1已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于()A(5，10) B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析 abm4，所以2a3b(2，4)(6，12)(4，8)答案 B2已知向量a(1，2)，b(2，3)，c(4，5)，若(ab)c，则实数()A B. C2 D2解析 因为a(1，2)，b(2，3)，所以ab，又(ab)c，所以(ab)c0，即450，解得2.故选C.答案 C3已知在ABCD中，(2，8)，(3，4)，对角线AC与BD相交于点M，则()A. B.C. D.解析 因为在ABCD中
2、，有，所以()(1，12).答案 B4已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是()Am2 BmCm1 Dm1解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能三点共线 (2，1)(1，3)(1，2)，(m1，m2)(1，3)(m，m1)假设A，B，C三点共线，则1(m1)2m0，即m1.若A，B，C三点能构成三角形，则m1.答案 C5已知向量a(x3，x23x4)与相等，其中M(1，3)，N(1，3)，则x_解析(1，3)(1，3)(2，0)，因为向量a(x3，x23x4)与相等，所以(x3，x23x4)(2，0)，则故x1.答案 16已知点A
3、(1，3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是_解析 (4，1)(1，3)(3，4)，与同方向的单位向量为.答案 7已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，那么|3|的最小值为_解析 如图，建立平面直角坐标系，设C(0，b)，P(0，y)，则B(1，b)又A(2，0)，则3(2，y)3(1，by)(5，3b4y)，所以|3|225(3b4y)2，所以当3b4y0，即yb时，|3|2取得最小值25，即|3|的最小值为5.答案 58已知向量a(m，1)，b.(1)若向量a与向量b平行，求实数m的值；(2)若向量a与向量b垂直，求实数m的值；(3)若ab
4、，且存在不等于零的实数k，t，使得a(t23)b(katb)，试求的最小值解析 (1)a(m，1)，b，且ab，1m0，m.(2)a(m，1)，b，且ab，m10，m.(3)由条件a(t23)b(katb)得：a(t23)b(katb)0，所以k，故(t24t3)(t2)2，所以，当t2时，的最小值为.B组题1给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若xy，其中x，yR，则xy的最大值是()A3 B4 C2 D8解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(cos 120，sin 120)，则B.设AOC，则(cos ，sin )xy(
5、x，0)(cos ，sin )，xysin cos 2sin(30)0120，3030150.当60时，xy有最大值2.答案 C2已知a，b是互相垂直的单位向量，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B1，2C1，1 D1，2解析 以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a(1，0)，b(0，1)，设c(x，y)，则cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21.即(x，y)是以点M(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|，所以|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|r|c|OM|r，即|c|1，1答案 A3(多
6、选)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DECD. 若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若，则下列叙述正确的是()A满足2的点P与D点重合B满足1的点P有且只有一个C的最大值为3D的最小值不存在解析 由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B(1，0)，E(1，1)，故 (1，0)，(1，1)，(，)，当1时， (0，1)，此时点P与D重合，满足2，故A正确；当1，0时， (1，0)，此时点P与B重合，满足1；当，时， ，此时点P为AD的中点，满足1，故满足1的点不唯一，故B错误；当PAB时，有01，0，可得01，故有01；当PBC时，有1
7、，01，所以011，故12，故13；当PCD时，有01，1，所以011，故12，故23；当PAD时，有0，01，所以01，故02.综上可得03，故C正确，D错误答案 AC4若点M是ABC所在平面内一点，且满足.(1)求ABM与ABC的面积之比；(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设xy，求x，y的值解析 (1)由，可知M，B，C三点共线如图，设，则()(1)，所以，所以，即ABM与ABC的面积之比为14.(2)由xy，得x，y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线5在ABC中，已知9，sin Bcos Asin C，SABC6，P为线段AB上的一点，且xy，求的最小值解析 ABC中
8、，设ABc，BCa，ACb，sin Bcos Asin C，sin(AC)sin Ccos A，即sin Acos Csin Ccos Asin Ccos A，sin Acos C0，sin A0，cos C0，C90，9，SABC6，bccos A9，bcsin A6，tan A，根据直角三角形可得sin A，cos A，bc15，c5，b3，a4，以C为坐标原点，AC所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，P为AB线段上的一点，则存在实数使得(1)(3，44)，设e1，e2，则|e1|e2|1，e1(1，0)，e2(0，1)，xy(x，0)(0，y)(x，y)，x3，y44，则4x3y12，.当且仅当即x126，y812时，.
