1、阶段提升课 第四章 三角恒等变换 思维导图构建网络 考点整合素养提升 题组训练一 三角函数式求值 1.求值:【分析】切化弦,然后通分,利用和差公式,约去非特殊角,得到结果.2sin 50sin 80 13tan 10)1cos 10（2.(1)设 为锐角,若 求 的值.(2)已知0 ,且 求cos(+)的值.4cos65（），sin212（）21cos29（），2sin23（），3.已知0 ,0 ,且3sin =sin(2+),4tan =1-tan2 ,求+的值.【分析】本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角,因为 2+=+(+),=(+)-,可先将条件式3sin =sin(2
2、+)展开 后求+的正切值.4422【方法技巧】三角函数求值的三种情况(1)“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,一般用已知角表示所求角.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再根据角的范围,确定角.【补偿训练】1.的值为()【解析】选B.原式=22sin 110 sin 20cos 155sin 1551133A.B.C.D.2
3、222sin 70 sin 20cos 20 sin 20cos 310cos 501 sin 4012.sin 4022.已知 求 的值.【解析】因为 所以 又因为 所以 5sin()04134 ，cos 2cos()45cos()sin()044134 +，12sin()413，cos 2sin(2)sin2()24 ，2sin()cos()cos 244cos()cos()44242sin.413 题组训练二 三角函数式化简 1.化简:-2cos(+)=_.【解析】原式=答案:sin2sin（）sin22sin cossin（）（）sin2sin cossinsin coscos sin
4、2sin cossincos sinsin cossinsinsin.sinsin（）（）（）（）（）（）（）（）sinsin2.化简:【解析】原式=1 3tan35tan.2cos 2sin 21cos 24sin 2422221 3tan35tancos3sin2sin cos3cos5sin8sin cos222222cos3sin3cos5sincoscos(cos3sin)(cossin)(3cos5sin)(cossin)11cossin coscossin coscossincossincos(cossin)cos(cossin)2cos2.coscos 2cos 2 【方法技巧
5、】三角函数式的化简,主要有以下几类:(1)对三角函数的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;(2)对三角函数的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或较简式子;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段,以实现三角函数式的化简.【补偿训练】已知sin(3+)=,求 的值.【解析】因为sin(3+)=-sin=,所以sin=-,原式=13coscos23coscos1sin()2cossin()32（）（）（）（
6、）1313coscos23coscos1-sin()coscos2（）（）（）2221121cos1cos1cos2218.1sin)3(题组训练三 三角恒等式的证明 证明:【证明】方法一:3xx2sin xtantan.22cos xcos 2x3xx3xx3xxsinsinsincoscossin3xx222222tantan3xx3xx22coscoscoscos22223xxsin()223xxcoscos22sin x2sin x3x3x3xcosxcoscosxcosx222222（）（-）2sin x.cos xcos 2x右边方法二:3x3x3x2sin(x)2sinx cos
7、cosx sin2sin x2222223x3x3xcos xcos 2xcos(xcosx2cosx cos222222（）)（）3xsinxsin3x22tanxtan.3x22cosxcos22左边【方法技巧】三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明,要认真分析等式两边三角函数式的特点,找出差异,化异角为同角,化异次为同次,化异名为同名,寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明,要认真观察条件式与被证式的区别与联系,灵活使用条件等式,通过代入法、消元法等方法进行证明.【补偿训练】证明:【证明】方法一:左边=tan=右边.
8、1sin 2cos 2tan.1sin 2cos 222sin 2(1 cos 2)2sin cos2sinsin 2(1 cos 2)2sin cos2cossin(cossin)cos(cossin)方法二:左边=右边.22222222sincossin2sincossincossin2cossin22sin 22sin2sin(sincos)tansin 22cos2cos(sincos)方法三:左边=tan=右边.(1 sin 2)cos 2(1 sin 2)cos 2 22222222(sincos2sincos)(cossin)(sincos2sincos)(cossin)22(s
9、incos)(cossin)(cossin)(sincos)(cossin)(cossin)(sincos)(sincossincos)(sincos)(sincoscossin)(sincos)2sin(sincos)2cos 题组训练四 三角恒等变换的综合应用 1.在ABC中,tan A+tan B+tan C=3 ,tan2B=tan Atan C,则B=_.【解析】tan B=-tan(A+C)=所以tan3B=3 ,所以tan B=,又因为B为三角形的内角,所以B=.答案:3tan Atan C1tan Atan C 23 3tan B1tan B，33332.设函数f(x)=sin
10、2x+cos .(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合.(2)设A,B,C为ABC的三个内角,已知cos B=,f =-,且C为锐角,求sin A的值.13C()214(2x)3【方法技巧】利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤(1)运用和、差、倍角公式化简.(2)统一把f(x)化成f(x)=asin x+bcos x+k的形式.(3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(x+)+k的形式,研究其性质.【补偿训练】设平面向量 b=(cos x,-1),函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期,并求出f(x)的单调递增区间.(2)若锐角 满足 求cos 的值.21a3sin xcos x)2(，1f()23 ，(2)6
