1、第三讲 运动图象 追及相遇问题一、知识梳理二、疑难探究1. 运动图象例1. 如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置时间(x-t)图线。由图可知() A在时刻t1，a车追上b车B在时刻t2，a、b两车运动方向相反C在t1到t2这段时间内，b车的位移比a车的大D在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大解析：本题考查运动图象，意在考查考生对运动图象的理解及图象与运动转换的能力。从x-t图象可以看出，在t1时刻，b汽车追上a汽车，选项A错误；在t2时刻，b汽车运动图象的斜率为负值，表示b汽车速度反向，而a汽车速度大小和方向始终不变，故选项B正确；由图象可知， 在t1到
2、t2这段时间内，两车位移相同，C错误；从t1时刻到t2时刻，图象b斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b汽车的速率先减小至零后增加，选项D错误。答案：B注意：(1)位移时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，图象并非物体运动的轨迹。(2)位移时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移时间图象只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向；如果物体做曲线运动，则画不出位移时间图象。(3)位移时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。例2. 甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t0到tt1的时间内，它
3、们的v-t图象如图所示。在这段时间内() A汽车甲的平均速度比乙的大B汽车乙的平均速度等于C甲、乙两汽车的位移相同D汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大解析：根据v t图象及其意义解题。根据v-t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误。答案：A注意：(1)速度时间图象反映了
4、做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它也只能描述物体做直线运动的情况。(2)速度时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度。(3)速度时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移。小结图象问题的解题思路用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法。是一种直观且形象的语言和工具。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：(1)读图即从图象中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图象所反映的物理过程及规律，从中获取有效信息，通常情况下，需要关注的特征量有三个层面：第一层：关注横坐标、纵坐标确认横坐标、纵坐标对应的物理量
5、各是什么。注意横坐标、纵坐标是否从零刻度开始。坐标轴物理量的单位也不能忽视。第二层：理解斜率、面积、截距的物理意义图线的斜率：通常能够体现某个物理量(如速度)的大小、方向及变化情况。面积：由图线、横轴，有时还要用到纵轴及图线上的一个点或两个点到横轴的垂线段，所围图形的面积，一般都能表示某个物理量，如vt图象中的面积，表示位移，但要注意时间轴下方的面积为负，说明这段位移与正方向相反。截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距。第三层：分析交点、转折点、渐近线交点：往往是解决问题的切入点。转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用。渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值或确定它的变化趋势。(2)
6、作图和用图依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题。2. 追及相遇问题例1. 一辆汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶，恰有一辆自行车以6 m/s的速度从车边匀速驶过。(1)汽车从开动后到追上自行车之前，要经多长时间两者相距最远？此时距离是多少？(2)汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？解析：方法一：物理分析法(1)汽车开动后速度由0逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度时，两者距离越来越小。所以当两车的速度相等时，两车之间距离最大，如图所示。，。(2)汽车
7、追上自行车时，两车位移相等，故有，。方法二：数学分析法(1)设汽车追上自行车前经时间t相距最远，利用二次函数求极值条件知，当时，x最大，。(2)当时，汽车追上自行车，则有(舍去)或此时汽车的速度。方法三：图象法作出t图象，如图所示。(1)两车速度相等时相距最远，解得两车的位移差。(2)由图知，以后，若两车位移相等，即t图象与时间轴所围的面积相等，汽车追上自行车。由几何关系知，相遇时间为，此时。小结追及相遇问题(1)追及相遇问题中的一个条件和两个关系一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。两个关系：即时间关系和位移关系，这两个
8、关系可通过画运动示意图得到。(2)追及相遇问题常见的情况假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有三种常见情况：A追上B时，必有xAxBx0，且vAvB。要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xAxBx0，vAvB。若使两物体保证不相撞，则要求当vAvB时，xAxBx0，且之后vAvB。(3)解题思路和方法三、跟踪训练1. 一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度v和位移x的关系图象中，能描述该过程的是() 2. 某同学以校门口为原点，向东方向为正方向建立坐标，记录了甲、乙两位同学的位移时间(x-t)图线，如图所示，下列说法中正
9、确的是() A在t1时刻，甲的瞬时速度为零，乙的速度不为零B在t2时刻，甲、乙速度可能相同C在t2时刻，甲、乙两同学相遇D在t3时刻，乙的速度为零、加速度不为零3. 甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的t图象中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在020 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是()A在010 s内两车逐渐靠近B在1020 s内两车逐渐远离C在515 s内两车的位移相等D在t10 s时两车在公路上相遇 4. (追者匀速，被追者匀加速)一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽
10、车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则()A人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 mB人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 mC人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 mD人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远5. (追者匀减速，被追者匀速)A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA10 m/s，B车在后，其速度vB30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x085 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时
11、相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？6. (追者匀速，被追者匀减速)甲、乙两车相距7 m，同向运动，乙车在前，甲车在后。其中甲车以4 m/s的速度向右做匀速直线运动，乙车初速度为4 m/s，以2 m/s2的加速度做减速运动，问经多长时间甲车追上乙车？7. (追者匀减速，被追者匀减速)甲、乙两车同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，速度分别为v甲8 m/s，v乙16 m/s。在相距16 m时，甲、乙两车同时刹车，甲车加速度大小为2 m/s2。问乙车加速度至少为多大时两车才不会相撞？参考答案知识梳理运动图象：位移 速度 静止 匀速直线 匀速直线 匀变速直线追及与相遇：不小于 最小 初始问题跟踪训练
12、1. A 汽车做初速度为零的匀加速直线运动，则x，故vx图线为以x轴为对称轴、开口向右的抛物线的一部分；若某一时刻开始减速，设加速度大小为a1，开始减速时的速度为v0，汽车的位移为x0，则xx0，那么vx图线为以x轴为对称轴、开口向左的抛物线的一部分，选项A正确。2. C因为xt图线的斜率等于物体的速度，所以在t1时刻，甲的瞬时速度不为零，乙的速度为零，选项A错误；在t2时刻，甲、乙速度方向不相同，所以速度不可能相同，选项B错误；在t2时刻，甲、乙两同学位移相同，所以两同学相遇，选项C正确；在t3时刻，乙的位移为零、速度不为零，加速度无法判断，选项D错误。3. C 由题图知乙做匀减速直线运动，
13、初速度乙10 m/s，加速度大小a乙0.5 m/s2；甲做匀速直线运动，速度甲5 m/s。当t10 s时甲乙，甲、乙两车距离最大，所以010 s内两车之间的距离越来越大；1020 s内两车之间的距离越来越小，t20 s时，两车距离为零，再次相遇，故A、B、D错误；在515 s时间内，两图线与时间轴围成的面积相等，因而两车位移相等，故C正确。4. B在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t6 s，人运动距离为66 m36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m25 m
14、36 m7 m，选项A、C错误，B正确。人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误。5. 解析：设B车刹车过程的加速度大小为aB，由v2v022ax解得：aB2.5 m/s2设经过时间t两车相撞，则有：vBtaBt2x0vAt，即30t2.5t28510t整理得t216t680由1624680可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时vAvBaBt1，t18 s此过程中xBvBt1aBt12160 mxAvAt180 m，两车的最近距离xx0xAxB5 m。6. 解析：要考虑乙车停止运动的时间，因为在乙车停止前甲车就追上乙车和乙车停止后甲车再追上乙车的解法是不同的。设乙车从开始减速到停止所用时间为t，则t2 s此时的位移为：x乙v0tat24 m在这段时间内甲车的位移x甲v甲t8 m7 m4 m11 m所以甲车在乙车停止后才追上乙车，所经时间t1 s2.75 s。7. 解析：甲、乙两车不相碰的条件是经过时间t，x乙x甲16 m，当x乙x甲16 m时正好不相撞。设乙的加速度为a，两车速度相等时，两车间距离最小。则v乙atv甲2t，即t(a2)8；又因为x乙x甲16 m，得16tat28t2t216；即16t(a2)t232，联立解得：t4 s，a4 m/s2。即当a4 m/s2时，两车正好不相撞，所以乙车的加速度至少应为4 m/s2。
