1、上海市控江中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.经过点，且以为一个方向向量的直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】求出直线的斜率，可得出直线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】直线的斜率为，所以，直线的方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题.2.过点，且与圆相切的直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】求出直线的斜率，可得出直线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】点与圆心连线的斜率为，由于点在圆上，则直线的斜率为
2、，所以，直线的方程为，即.故答案：.【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，解题时要判断点与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.3.焦点为与的等轴双曲线的方程为_.【答案】【解析】分析】设所求双曲线的方程为，根据该双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上，可设所求双曲线的方程为，则，解得，因此，所求等轴双曲线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题.4.平面上到两定点与的距离之和为的动点的轨迹方程为_.【答案】【解析】【分析】记点、，设所求点为，由可得知点的轨迹，进而可得
3、出点的轨迹方程.【详解】记点、，设所求点为，则，则点的轨迹为线段，即所求动点的轨迹方程为.故答案为：.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题.5.若不垂直于轴的直线与直线所成的角的大小为，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】设直线的倾斜角为，记，利用两角差的正切公式可得出关于的方程，进而可求得实数的值.【详解】设直线的倾斜角为，记，则，由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.已知是实数，设向量，向量，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐
4、标运算计算出和的值，由得，由此可计算出实数的值.【详解】，则，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能力，属于基础题.7.直线被圆所截得的弦的长度为_.【答案】【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求出弦长.【详解】圆的圆心坐标为，半径长为，圆心到直线的距离为，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.8.设动点的轨迹为抛物线，点为定点.若线段的中点为点，则点的轨迹方程为_.【答案】【解析】【分析】设点，可得出点，再将点的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点的轨迹方程.【
5、详解】设点、，由中点坐标公式得，可得，由于点在抛物线上，即，所以，化简得.因此，点的轨迹方程为.故答案为：.【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.9.椭圆的左焦点为，以为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为，最小值记为.若，则_.【答案】【解析】【分析】由椭圆的几何性质得，结合条件可求得实数的值.【详解】由题意可知，由椭圆的几何性质知，即，可得，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.10.设是双曲线1上的一点，、是该双曲线的左、右焦点.若，则_.【答案】
6、【解析】【分析】根据双曲线的定义以及已知条件可得出关于和的方程组，即可解出的值.【详解】，则，由双曲线的定义可得，又，则，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线焦半径的求解，考查双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11.设是正实数，三角形所在平面上的另三点、满足：，若三角形与三角形的面积相等，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设的重心为点，可知与关于点对称，利用重心的向量性质可求得实数的值.【详解】设的重心为点，则，由于和的面积相等，则与关于点对称，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.1
7、2.在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为、.该平面上的动点满足.已知动点的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_（只需写出满足题意的一个方程）.【答案】【解析】【分析】推导出，则是等腰三角形，的中点坐标为，的对称轴方程为，由此可得出该图形的一条对称轴方程.【详解】点、的坐标分别为、，则，等腰三角形，线段的中点坐标为，的对称轴方程为.所在平面上的动点满足，且动点的轨迹为轴对称图形，设点关于直线的对称点为点，则，所以，则动点在点的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为.故答案为：.【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证
8、能力、化归与转化思想的应用，属于中等题.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】由于方程表示的曲线为圆，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.14.设直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将直线的方程化为，利用平行线间的距离公式可求出直线与的距离.【详解】直线的方程可化为，因此，直线
9、与的距离为.故选：C.【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.15.开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点处.从行星位于长轴端点这一位置开始计算，它再次运行到点所经过的时间为.根据开普勒第二定律，从开始经过时间，行星的位置可能在（ ）A. 点处B. 点处C. 点处D. 点处【答案】B【解析】【分析】由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的部分，所以按逆时针转动到达点处.【详解】由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期，一周被坐标轴平均分为相等的部分，所以，从点开始
10、经过时间，按逆时针转时转到点.故选：B.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.16.设、是椭圆上相异的两点.设、.命题甲：若，则与关于轴对称；命题乙：若，则与关于轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）A. 甲和乙都是真命题B. 甲是真命题，乙是假命题C. 甲是假命题，乙是真命题D. 甲和乙都是假命题【答案】A【解析】【分析】设点、，则或，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【详解】设点、，则，可得，.对于命题甲：，同理可得，则，整理得，所以，则，必有，所以，则与关于轴对称，命题甲正确；同理可知命题乙也正确.故选：A.【点睛】本题主
11、要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共5题，共46分）17.已知向量与是平面上的一组基向量.（1）设向量，试用向量与表示；（2）设是实数，向量，设与的夹角为，与的夹角为.若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，根据平面向量坐标运算建立和的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；（2）由结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于的等式，即可解出实数的值.【详解】（1）设，则，即，解得，因此，；（2）根据题意，可得，解得.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运
12、算求解能力，属于基础题.18.已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.（1）若与平行，求的值；（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】分析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数的方程，即可解出实数的值；（2）将两直线方程联立可求得交点的坐标，然后令，消去参数得出关于、的二元一次方程，即可证得结论.【详解】（1）与平行，则，解得；（2）联立，解得，所以点，即.因此，点在直线上.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.19.设双曲线的方程为.（1）设是经过点的直线，
13、且和有且仅有一个公共点，求的方程；（2）设是的一条渐近线，、是上相异的两点.若点是上的一点，关于点的对称点记为，关于点的对称点记为.试判断点是否可能在上，并说明理由.【答案】（1）或或或；（2）点不可能在双曲线上，理由详见解析.【解析】【分析】（1）对所求直线分三种情况讨论：轴，验证即可；直线与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由求出直线的斜率，可得出直线的方程；直线与双曲线的渐近线平行，可得出直线的方程.综合可得出所求直线的方程；（2）假设点在双曲线上，设直线的方程为，设点、，求出点、的坐标，再将点的坐标代入双曲线的方程验证即可得出结论.【详解】（1）当直线的斜率不存在时，方程为
14、，显然与双曲线相切，只有一个交点，符合题意，当直线的斜率存在且与双曲线相切时，设斜率为，则直线的方程为，即，联立方程，消去得，直线和双曲线有且仅有一个公共点，化简得，解得，此时，直线的方程为，即；当直线与双曲线的渐近线平行时，也与双曲线有且仅有一个公共点，双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，所以，直线的方程为或，即或.综上所述，直线的方程为或或或；（2）假设点在双曲线上，不妨设直线方程为，设点、，关于点的对称点记为，点，关于点的对称点记为，点，点在双曲线上，又点在双曲线上，上式化为，即，则，此式显然不成立，故假设不成立，所以点不可能在双曲线上.【点睛】本题考查利用直线与双曲线的公共点个数求直线
15、方程，同时也考查了点与双曲线的位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由；（2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程；（3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于.【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可知，点为的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点、，利用点差法求得，根据重
16、心的坐标公式，求出线段的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；（3）由，等式两边平方，利用基本不等式可得出，结合等式可求出，进而证明结论成立.【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为，由，可知，为重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和，另外的顶点为，由，解得：，显然，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和；（2）设、，由，两式相减，得，所以，所以，由题意可知，所以，则，由，所以，所以，线段的中点，因此，直线的方程为，整理得.因此，直线的方程；（3）由（2）可知，则，由，平方可得，当且仅当时取等号，显然，所以，即，将代入可得，解得，所以点的横坐标小于.【
17、点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21.设椭圆的方程为，斜率为的动直线交椭圆于、两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆.（1）求圆心的轨迹方程，并描述轨迹的图形；（2）若圆经过原点，求直线的方程；（3）证明：圆内含或内切于圆.【答案】（1）圆心的轨迹方程为，轨迹为线段；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得，以及圆的方程，代入原点，可求的值，进而可求得直线的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立.【详解】（1）设斜率为的动直线的方程为，联立椭圆方程，可得，设、，则，即，由韦达定理得，则中点，可得圆心的轨迹方程为，即轨迹为线段；（2）由（1）可得，可得圆的方程为，若圆经过原点，可得，解得，因此，直线的方程为；（3）圆的圆心设为，半径为，圆的圆心，半径为，由，可令，则，可得，可得圆内含或内切于圆.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的综合问题，圆与圆位置的关系的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
