1、2016年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，则M（RN）=（）A1B2C0，1D1，22a为正实数，i为虚数单位，则a=（）A2BCD13已知向量，则3|=（）A83B63C57D234设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若a1=2a83a4，则=（）ABCD5如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）Aa1+x0（a3+x0（a0+a2x0）的值Ba3+x0（a2+x0（a1+a0x0）的值Ca0+x0（a1+x0（a2+a
2、3x0）的值Da2+x0（a0+x0（a3+a1x0）的值6如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C位置折叠后三棱锥CABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A等边三角形B直角三角形C两腰长都为的等腰三角形D两腰长都为的等腰三角形7设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x4y的取值范围是（）A11，3）B11，3C（11，3）D（11，38已知x、y取值如表：x014568y135678从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A0.95B1.00C1.10D1.159设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值
3、范围是（）A（，12，+）B1，2C（，21，+）D2，110一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）ABCD111设函数f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A0g（a）f（b）Bf（b）g（a）0Cf（b）0g（a）Dg（a）0f（b）12已知F1、F2分别是双曲线C： =1（a0，b0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且F1PF2=120，则双曲线C的离心率是（）ABCD二、填空题：本大题共
4、4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸中横线上13过原点向圆x2+y22x4y+4=0引切线，则切线方程为14已知在ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为15若，则=16已知an为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+bc）=3ab（）求角C；（）f（x）=在区间上的值域18某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测
5、量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（）计算甲班的样本方差；（）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率19在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE（）求证：DE平面ACF；（）求证：CG平面BDE；（）若AB=1，求三棱锥FACE的体积20椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上（）求椭圆C的方程；（）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆
6、的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值21已知函数，g（x）=xlnxa（x1）（）求函数f（x）在点（4，f（4）处的切线方程；（）若对任意x（0，+），不等式g（x）0恒成立，求实数a的取值的集合M；（）当aM时，讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22（A）如图，ABC内接圆O，AD平分BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E（）求证：EBD=CBD（）求证：ABBE=AEDC选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中曲线C的极坐标方程为sin2cos=0，点以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标
7、系斜率为1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点（）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（）求点M到A，B两点的距离之积选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|2xa|，aR（1）当a=3时，解不等式f（x）0；（2）当x（，2）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围2016年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，则M（RN）=（）A1B2C0，1D1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合M，根
8、据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：M=0，1，2，N=x|x23x+20=x|x2或x1，RN=x|1x2，M（RN）=1，2，故选：D2a为正实数，i为虚数单位，则a=（）A2BCD1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，nR）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值【解答】解：=1ai|=|1ai|=2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3已知向量，则3|=（）A83B63C57D23【考点】平面向量数量积的运算【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案【解答】解：，故选：A4设Sn是公差不为0的等差数列
9、an的前n项和，若a1=2a83a4，则=（）ABCD【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】根据a1=2a83a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论【解答】解：设等差数列的公差为d，则a1=2a83a4，a1=2（a1+7d）3（a1+3d），a1=，=故选A5如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）Aa1+x0（a3+x0（a0+a2x0）的值Ba3+x0（a2+x0（a1+a0x0）的值Ca0+x0（a1+x0（a2+a3x0）的值Da2+x0（a0+x0（a3+a1x0）的值【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法
10、即可得解【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0），故选：C6如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C位置折叠后三棱锥CABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A等边三角形B直角三角形C两腰长都为的等腰三角形D两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可【解答】解：由俯视图可知，平面CBD平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形其腰长为=，故选：C7设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x4y的取值范围是（）A11，3）B11，3C（1
11、1，3）D（11，3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x4y的取值范围【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x4y，直线xy+2=0与x+y8=0交于点A（3，5），直线x+y8=0与x5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，zmin=11，z在点B处取得最大值，zmax=1512=3，11z3，故选：A8已知x、y取值如表：x014568y135678从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A0.95B1.00C1.10D1.
12、15【考点】线性回归方程【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b【解答】解：由题意知，从而代入回归方程有b=1.10，故选C9设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A（，12，+）B1，2C（，21，+）D2，1【考点】函数的值域【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可【解答】解：当x2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）f（2）=4+a，当x2时，函数f（x）=log（x）+a2为增函数，则f（x）f（2）=log（2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a2+a2，即a2a20，则a2或a1，
13、故选：A10一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）ABCD1【考点】球内接多面体【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=42ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=42ah，ah，当且仅当h=a=时取等号，正四棱柱的侧面积S=4ah4，该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D11设函数f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A0g（a）f（b）Bf（b）g（a）0Cf（b）
14、0g（a）Dg（a）0f（b）【考点】函数单调性的性质【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案【解答】解：y=ex和y=x2是关于x的单调递增函数，函数f（x）=ex+x2在R上单调递增，分别作出y=ex，y=2x的图象如右图所示，f（0）=1+020，f（1）=e10，又f（a）=0，0a1，同理，g（x）=lnx+x23在R+上单调递增，g（1）=ln1+13=20，g（）=+（）23=0，又g（b）=0，1，g（a）=lna+a23g（1）=ln1+13=20，f（b）=eb+b2f（1）=e+12=e10
15、，g（a）0f（b）故选：D12已知F1、F2分别是双曲线C： =1（a0，b0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且F1PF2=120，则双曲线C的离心率是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|
16、F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|2a=m+2a，由F1PF2=120，可得QPF2=60，即有QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos120，即为4c2=4a2+16a222a4a（），即有4c2=28a2，即c=a，可得e=故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题
17、纸中横线上13过原点向圆x2+y22x4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0【考点】圆的切线方程【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可【解答】解：圆的标准方程为（x1）2+（y2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kxy=0，圆心到直线的距离d=1，得|k2|=，平方得k24k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=014已知在ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为
18、【考点】几何概型【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，AH=，FH=1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=142=124，则线段AM的长度不小于的概率P=，故答案为：15若，则=【考点】三角函数的化简求值【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可【解答】解：，则=cos（2+）=2cos2（+）1=21=，故答案为：16已知an为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45【考点】等比数列的性质；等比
19、数列的前n项和【分析】设正项等比数列an的公比为q0，可得：S5，S10S5，S15S10，S20S15，成等比数列，即可解出【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0，S5=3，S15=21，S5，S10S5，S15S10，S20S15，成等比数列， =（S10S5）（S20S15），解得S10=9，（219）2=（93）（S2021），解得S20=45故答案为：45三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+bc）=3ab（）求角C；（）f（x）=在区间上的值域【考点】三角函数中的
20、恒等变换应用；正弦定理；余弦定理【分析】（）根据余弦定理求出C的值即可；（）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可【解答】解：（）由（a+b+c）（a+bc）=3ab，得：a2+b2c2=ab，在ABC中，；（）由（）可知，=，函数f（x）的值域为18某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（）计算甲班的样本方差；（）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率【考点】列举法
21、计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差【分析】（）由茎叶图可知：乙班平均身高较高（）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差（）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率【解答】（本小题满分12分）解：（）由茎叶图可知：乙班平均身高较高 （）cm 甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2=57.2（）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm取出两人的基本事件空间为：=，共10种情况身高176cm同学被抽到的事件空间为：，共4中
22、情况所求事件的概率为19在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE（）求证：DE平面ACF；（）求证：CG平面BDE；（）若AB=1，求三棱锥FACE的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OFDE，然后利用线面平行的判定得答案；（）由EC底面ABCD，得ECBD，再由BDAC，由线面垂直的判定得BD平面ACE，进一步得到CGBD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CGEO，再由线面
23、垂直的判定得答案；（）由AB=1，求得，进一步得到EC底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥FACE的体积【解答】证明：（）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又F是EB中点，OF是BDE的中位线，OFDE，DE平面ACF，OF平面ACF，DE平面ACF；（）EC底面ABCD，BD平面ABCD，ECBD，BDAC，且ACCE=C，BD平面ACE，CG平面ACE，CGBD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，在OCE中，G是EO中点，CGEO，EOBD=E，CG平面BDE；解：（）AB=1，F是EB中点，且EC底面ABCD，20椭圆C：的离心率为，左、右焦
24、点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上（）求椭圆C的方程；（）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）由（）知F2（1，0），设直线l：y=k（x2），与椭圆联立，得（1+2k2）x28k2x+8k22=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0【解答】（本小题满分12分）解：（）设椭圆C的焦距为2c
25、，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，又，所以b=1，所求椭圆C的方程为证明：（）由（）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）由，得，整理得（1+2k2）x28k2x+8k22=0，则，且，=2x1x23（x1+x2）+4=，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值021已知函数，g（x）=xlnxa（x1）（）求函数f（x）在点（4，f（4）处的切线方程；（）若对任意x（0，+），不等式g（x）0恒成立，求实数a的取值的集合M；（）当aM时，讨论函数h
26、（x）=f（x）g（x）的单调性【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出原函数的导函数，得到f（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4）的切线方程为ye2=e2（x4），即y=e2x3e2；（）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，对任意x（0，+），不等式g（x）g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零
27、点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间【解答】解：（），f（4）=e2，又f（4）=e2，函数f（x）在点（4，f（4）的切线方程为ye2=e2（x4），即y=e2x3e2； （）由g（1）=0及题设可知，对任意x（0，+），不等式g（x）g（1）恒成立，函数g（x）=xlnxa（x1）必在x=1处取得极小值，即g（1）=0，g（x）=lnx+1a，g（1）=1a=0，即a=1，当a=1时，g（x）=lnx，x（0，1），g（x）0；x（1，+），g（x）0，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0对任意x（0，+
28、），不等式g（x）g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，M=1； （）由（）a=1，函数，其定义域为（0，+），求得，令m（x）=h（x），为区间（0，+）上的增函数，设x0为函数m（x）的零点，即，则，当0xx0时，m（x）0；当xx0时，m（x）0，函数m（x）=h（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+）上为增函数，函数h（x）在区间（0，+）上为增函数 选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22（A）如图，ABC内接圆O，AD平分BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E（）求证：EBD=CBD（）求证：ABBE=AEDC【考点】与圆有关的比例线段【分
29、析】（）根据BE为圆O的切线，证明EBD=BAD，AD平分BAC，证明BAD=CAD，即可证明EBD=CBD（）证明EBDEAB，可得ABBE=AEBD，利用AD平分BAC，即可证明ABBE=AEDC【解答】证明：（）BE为圆O的切线，EBD=BAD，AD平分BAC，BAD=CAD，EBD=CAD，CBD=CAD，EBD=CBD；（）在EBD和EAB中，E=E，EBD=EAB，EBDEAB，ABBE=AEBD，AD平分BAC，BD=DC，ABBE=AEDC选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中曲线C的极坐标方程为sin2cos=0，点以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系斜率为
30、1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点（）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（）求点M到A，B两点的距离之积【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）利用x=cos，y=sin，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0（）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|【解答】解：（）x=cos，y=sin，由sin2cos=0得2sin2=cosy2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程
31、为（t为参数）即（t为参数）（）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则， 又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|2xa|，aR（1）当a=3时，解不等式f（x）0；（2）当x（，2）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x（，2）时，a3x2或ax+2恒成立，从而可求得a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=，当x2时，1x0，即x1，解得x；当x2时，53x0，即x，解得x；当x时，x10，即x1，解得1x；综上所述，不等式的解集为x|1x（2）当x（，2）时，f（x）0恒成立2x|2xa|02x|2xa|恒成立2x2xa或2xax2恒成立x或xa2恒成立，当x（，2）时，a3x2或ax+2恒成立，解，a不存在；解得：a4综上知，a42016年7月29日
