1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(七十)离散型随机变量的均值与方差(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015聊城模拟)已知离散型随机变量X的分布列为X-101Px则X的数学期望EX=()A.-B.C.D.【解析】选B.依题意得:+x+=1,所以x=.EX=(-1)+0+1=.2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则D(3X+5)=()A.6B.9C.3D.4【解析】选A.由EX=(1+2+3)=2,得DX=,D(3X+5)=32DX=6.3.(2
2、015榆林模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知EX=3,则DX=()A.B.C.D.【解题提示】由题意知,XB,由EX=5=3,知XB,由此能求出DX.【解析】选B.由题意知,XB,所以EX=5=3,解得m=2,所以XB,所以DX=5=.4.(2015西安模拟)在“石头、剪刀、布”的游戏中,规定:“石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石头”.现有甲、乙两人玩这个游戏,共玩3局,每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设甲赢乙的局数为X,则随机变量X的数学期望是()A.B.C.D.1【解析】选D.由题意可得随机变量X的可能取值为0
3、,1,2,3,每一局中甲胜的概率为=,平的概率为,输的概率为.故P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故EX=0+1+2+3=1.5.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p0),发球次数为X,若X的数学期望EX1.75,则p的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则EX=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)
4、2=p2-3p+31.75,解得p或p,又由p(0,1),可得p.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=p,令随机变量X=则X的方差DX等于.【解析】X服从两点分布,故DX=p(1-p).答案:p(1-p)7.(2015上海模拟)已知随机变量X所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为p1,p2,p1,若随机变量X的方差DX=,则p1+p2的值是.【解题提示】由分布列的性质可得2p1+p2=1,由数学期望的计算公式可得EX的值,由方差的计算公式可得DX,进而即可解得p1,p2.【解析】由分布列的性质可得2p1+p2=1,(*)由数学期望的计算公式可得EX=
5、1p1+2p2+3p1=2(2p1+p2)=2.由方差的计算公式可得DX=(1-2)2p1+(2-2)2p2+(3-2)2p1=2p1=,解得p1=,把p1=代入(*)得2+p2=1.解得p2=,所以p1+p2=+=.答案:8.已知X的分布列X-101P则下列式子:EX=-;DX=;P(X=0)=,正确的个数是.【解析】由EX=(-1)+0+1=-,故正确.由DX=+=,知不正确.由分布列知正确.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.美国NBA总决赛采用七局四胜制,赛前预计参加决赛的两队实力相当,且每场比赛组织者可获得200万美元,问:(1)比赛只打4场的概率是多少?(2)组织者在本
6、次比赛中获利不低于1 200万美元的概率是多少?(3)组织者在本次比赛中获利的期望是多少?【解析】(1)依题意,某队以40获胜,其概率为P=2=.(2)组织者在本次比赛中获利不低于1 200万美元,则两队至少打6场比赛,分两种情况:只打6场,则比赛结果应是某队以42获得胜利,其概率为P1=,打7场,则比赛结果应是某队以43获得胜利,其概率为P2=,由于两种情况互斥,所以P=P1+P2=,所以获利不低于1 200万美元的概率为.(3)设组织者在本次比赛中获利X万美元,则X的分布列为X800100012001400PEX=800+1 000+1 200+1 400=1 162.5(万美元).因此组
7、织者在本次比赛中获利的期望是1 162.5万美元.10.(2015扬州模拟)抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币,它们正面向上的概率如表所示(0a1):纪念币ABC概率aa将这三枚纪念币同时抛掷一次,设X表示出现正面向上的纪念币的个数.(1)求X的分布列及数学期望.(2)在概率P(X=i)(i=0,1,2,3)中,若P(X=1)的值最大,求a的最大值.【解析】(1)由题意知X个正面向上,3-X个背面向上.X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=(1-a)2=(1-a)2,P(X=1)=(1-a)2+a(1-a)=(1-a2),P(X=2)=a(1-a)+a2=(2a-a2),P(X=3)=
8、a2=.所以X的分布列为X0123P(1-a)2(1-a2)(2a-a2)所以X的数学期望为EX=0(1-a)2+1(1-a2)+2(2a-a2)+3=.(2)P(X=1)-P(X=0)=(1-a2)-(1-a)2=a(1-a),P(X=1)-P(X=2)=(1-a2)-(2a-a2)=,P(X=1)-P(X=3)=(1-a2)-a2=.由和0a1,得0a,即a的取值范围是,即a的最大值为.(20分钟40分)1.(5分)(2015嘉峪关模拟)签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为()A.5B.5.25C.5.8D.4.
9、6【解析】选B.由题意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=.由数学期望的定义可求得EX=5.25.2.(5分)(2015湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中,现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为()A.1B.nC.D.【解析】选C.已知每一位学生打开柜门的概率为,所以打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1+2+n=.3.(5分)马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列如表:X123P(X=x)?!?请小牛同学计算X的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个
10、“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案EX= .【解析】设P(X=1)=x,则P(X=3)=x,由分布列性质,所以P(X=2)=1-2x,因此EX=1x+2(1-2x)+3x=2.答案:2【加固训练】某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则DX=.【解析】由题意知,(1-p)2=,即p=,所以P(X=1)=+=,P(X=2)=+=,P(X=3)=,所以EX=0+1+2+3=,
11、所以DX=+=.答案:4.(12分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率.(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.(3)该厂预计今
12、后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=.(2)依题意得,X1的分布列为X1123PX2的分布列为X21.82.9P(3)由(2)得EX1=1+2+3=2.86(万元),EX2=1.8+2.9=2.79(万元).因为EX1EX2,所以应生产甲品牌轿车.5.(13分)(能力挑战题)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限
13、值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中,随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)从这15天的数据中任取3天的数据,记X表示空气质量达到一级的天数,求X的分布列.(2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到一级.【解析】(1)由题意知N=15,M=6,n=3,X的可能取值为0,1,2,3,其分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3),所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列是:X0123P(2)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为p=,一年中空气质量达到一级的天数为Y,则YB,所以EY=360=144,所以一年中空气质量达到一级的天数为144天.关闭Word文档返回原板块
