1、第二节不等式的证明通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.1基本不等式定理1如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理3如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2比较法(1)作差法的依据是：ab0ab.(2)作商法：若B0，欲证AB，只需证1.3综合法与分析法综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个
2、明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)已知x为正实数，则1x3.()(2)若a2，b2，则abab.()(3)设xa2b，Sab21则Sx.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1已知a，bR，且ab1，则的最小值为_答案：322已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为_答案：93已知正实数a，b满足2abab12，则ab的最小值是_解析：由2abab12，得2ab212，当且仅当ab时等号成立化简得(3)(2)0，解得ab9，所以ab的最小值是9.答案：9考法一比较法证明不等式例1(1)(2019莆田模拟)
3、设a，b是非负实数求证：a2b2(ab)(2)已知a0，b0，证明：aabb(ab).证明(1)因为(a2b2)(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)(ab)(ab)因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与ab同号，所以(ab)(ab)0，所以a2b2(ab)(2)，当ab时，1，当ab0时，1，0，1；当ba0时，01，0，则1.aabb(ab) .方法技巧比较法证明不等式的方法和步骤(1)求差比较法由abab0，abab0，因此要证明ab只需证明ab0即可，这种方法称为求差比较法(2)求商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只需证明1即
4、可，这种方法称为求商比较法(3)用比较法证明不等式的一般步骤作差(商)变形判断结论，而变形的方法一般有配方、通分和因式分解考法二综合法证明不等式例2(2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.方法技巧1综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等
5、式，这是证明的关键2综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的变形形式有：a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；2.(4)，它的变形形式有：a2(a0)；2(ab0)；2(ab0)考法三分析法证明不等式例3(2019重庆模拟)已知函数f(x)|x1|，g(x)|x|.(1)若不等式f(x)g(x2)m22m有解，求实数m的取值范围；(2)若|x|1，|y|1，求证：f(y)g(x)f.解(1)由题意得，f(x)g(x2)|x1|x2|(x1)(x2)|3，f(x)g(x2)m22m有解，m22m3，解得m3或m1，实数m
6、的取值范围是(，13，)(2)证明：要证f(y)g(x)f，即证|y1|x|，只需证.，又|x|1，|y|1，0，f(y)g(x)f.方法技巧1用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有只需证明命题B2为真，从而有只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真2分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆1.(1)解不等式|x1|x3|4；(2)若a，b满足(1)中不等式，求证：2|ab|ab2a2b|.解：(1)
7、当x3时，|x1|x3|x1x32x44，解得x4，所以4x3；当3x1时，|x1|x3|x1x324恒成立，所以3x1；当x1时，|x1|x3|x1x32x44，解得x0，所以1x0.综上，不等式|x1|x3|4的解集为x|4x0(2)证明：4(ab)2(ab2a2b)2(a2b24a2b4ab216ab)ab(b4)(a4)0，所以4(ab)2(ab2a2b)2，所以2|ab|ab2a2b|.2.已知a0，b0,2cab，求证：cac.证明：要证cac，即证ac，即证|ac|，即证(ac)2c2ab，即证a22acab.因为a0，所以只要证a2cb，即证ab2c.由已知条件知，上式显然成立
8、，所以原不等式成立3.(2019贵州模拟)已知函数f(x)x|x2|.(1)求不等式f(x)6的解集M；(2)记(1)中集合M中元素的最小值为m，若a，b为正实数，且abm，求的最小值解：(1)f(x)6，即x|x2|6，或解得x2，Mx|x2(2)由(1)知m2，即ab2，又a，b为正实数，24，当且仅当ab1时，取得最小值4.课时跟踪检测 1已知a，b都是正实数，且ab2，求证：1.证明：a0，b0，ab2，1.ab22，ab1.0.1.2(2019运城康杰中学模拟)已知a0，b0，ab2.(1)求的最小值；(2)求证：1.解：(1)a0，b0，ab2，(当且仅当b2a时等号成立)(2)证
9、明：ab 21(当且仅当ab时等号成立)3(2019石家庄模拟)已知函数f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab.解：(1)由绝对值不等式的性质知f(x)|x|x1|xx1|1，f(x)min1，只需|m1|1，即1m11，0m2，实数m的最大值M2.(2)证明：a2b22ab，且a2b22，ab1，1，当且仅当ab时取等号又，当且仅当ab时取等号由得，ab2ab.4(2019湖南师范大学附属中学月考)(1)已知函数f(x)|x2|x1|，解不等式f(x)x22x；(2)已知x，y，z均为
10、正数，求证：.解：(1)f(x)|x2|x1|当x1时，不等式为x22x3，1x3，即x1；当1x2时，不等式为x22x2x1，解得1x1，即1x1；当x2时，不等式为x22x3，x.综上，不等式的解集为1,1(2)证明：因为x，y，z都为正数，所以，同理可得，当且仅当xyz时，以上三式等号都成立将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.5(2019广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)|xm|x|，mN*，存在实数x使f(x)2成立(1)求实数m的值；(2)若1，1，f()f()4，求证：3.解：(1)因为|xm|x|(xm)x|m|.所以要使不等式|xm|x|2有解，则|m|2，解得2m
11、2.因为mN*，所以m1.(2)证明：因为1，1，所以f()f()21214，即3，所以()3.当且仅当，即2，1时等号成立，故3.6已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.解：(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)综上，f(x)的最小值m3.(2)证明：因为a，b，c均为正实数，且满足abc3，所以(abc)22(abc)，当且仅当abc1时，取“”，所以abc，即3.7已知函数f(x)|x1|.(1
12、)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|1，a0，求证：f.解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|当x3时，由3x28，解得x；当3x时，x48无解；当x时，由3x28，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集为.(2)证明：f等价于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|.故所证不等式成立8设函数f(x)x|x2|x3|m，若xR，4f(x)恒成立(1)求实数m的取值范围；(2)求证：log(m1)(m2)log(m2)(m3)解：(1)xR，4f(x)恒成立，mx|x2|x3|4恒成立令g(x)x|x2|x3|4函数g(x)在(，3上是增函数，在(3，)上是减函数，g(x)maxg(3)2，mg(x)max2，即m200，m0，综上，实数m的取值范围是(0，)(2)证明：由m0，知m3m2m11，即lg(m3)lg(m2)lg(m1)lg 10.要证log(m1)(m2)log(m2)(m3)，只需证，即证lg(m1)lg(m3)lg2(m2)，又lg(m1)lg(m3)2lg2(m2)，log(m1)(m2)log(m2)(m3)成立
