1、第七节正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题第1课时系统知识正弦定理、余弦定理及应用举例正弦定理、余弦定理正、余弦定理的内容及变形定理正弦定理余弦定理内容2R(其中R是ABC外接圆的半径)a2b2c22bccos A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A；sin B；sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccs
2、in A；2Rcos A；cos B；cos C提醒若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理，在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题谨记常用结论1在三角形ABC中，ABC，则(1)sin Asin(BC)，cos Acos(BC)，tan Atan(BC)(2)sin cos ，cos sin .(3)sin Asin BAB；sin 2Asin 2BAB或AB.(4)ABabsin Asin Bcos AcosB.2三角形的面积SABCabsin Cbcsin Aacsin
3、B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.1.在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_答案：22.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin Bsin Asin C，cos B，且SABC6，则b_.解析：在ABC中，由正弦定理可得，2bac， 由余弦定理可得，b2a2c22ac(ac)2ac，由cos B，得sin B，故SABCac6， 由得，b4.答案：43.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为_解析：由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，解得sin A(负
4、值舍去)，由bc2，可得ABC的面积Sbcsin A2.答案：4.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，A45，若三角形有两解，则边b的取值范围是_解析：由题可知，ABC有两解的充要条件是bsin 452b，解得2bc，ABC的面积为5，则c_.解析：由三角形面积公式，得45sin C5，即sin C.又ba，bc，所以C为锐角，于是C60.由余弦定理，得c24252245cos 60，解得c.答案：6ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C_.解析：Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.C(0，)，C.答案：解三
5、角形应用举例测量中的有关几个术语的意义及图形表示名称意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角方位角从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角的范围是00，x1.答案：15.某中学举行升旗仪式，在坡度为15的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30和60，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是_m.解析：由题意得DEA45，ADE30，AE，所以AD，因此CDADsin 60sin 6010(3)答案：10(3)课时跟踪检测 1(2019邵阳
6、联考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a3，b，A，则B()A.B.C.或 D.解析：选A由正弦定理得，sin B，B或B，又ba，B1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在5(2019广州调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，c4，cos B，则ABC的面积为()A3 B.C9 D.解析：选B由余弦定理b2c2a22accos B，得716a26a，解得a3，cos B，sin B，SABCcasin B43.故选B.6在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2a，b4，cos B.则c的值为()A4 B2C5 D6解析：选Ac2a，
7、b4，cos B，由余弦定理得b2a2c22accos B，即16c2c2c2c2，解得c4.7(2018兰州一模)ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c2a，bsin Basin Aasin C，则sin B的值为()A. B.C. D.解析：选C由正弦定理，得b2a2ac，又c2a，所以b22a2，所以cos B，所以sin B.8已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析：选D如图所示，由余弦定理可得，AC210040021020cos 12070
8、0，AC10(km)9(2019豫南豫北联考)线段的黄金分割点的定义：若点C在线段AB上，且满足AC2BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点在ABC中，ABAC，A36，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos 36()A. B.C. D.解析：选B不妨设AB2，利用黄金分割点的定义得AD1，易知AABD36，故ADBD1.在ABD中，cos 36，故选B.10(2019莆田联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B.C. D.解析：选Aasin Bcos
9、Ccsin Bcos Ab，根据正弦定理可得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，即sin B(sin Acos Csin Ccos A)sinBsin B0，sin(AC)，即sin B.ab，AB，即B为锐角，B，故选A.11一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里解析：选A画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30
10、，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)12(2018湖南长郡中学模拟)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2Aasin B，且c2b，则()A2 B3C. D.解析：选A由2bsin 2Aasin B，得4bsin Acos Aasin B，由正弦定理得4sin B sin Acos Asin Asin B，sin A0，且sin B0，cos A，由余弦定理得a2b24b2b2，a24b2，2.故选A.13(2019凌源模拟)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，A75，cos B，则b_.解析：在ABC中，由cos B，可得si
11、n B，由A75，可得sin A，根据正弦定理，得，解得b2.答案：214(2018惠州二调)在ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C60，c，则_.解析：由正弦定理知2，所以a2sin A，则4.答案：415.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(海里/分)答案：16(2019河南实验中学模拟)ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果ABC的面积等于8，a5，tan B，那么_.解析：由tan B，得sin B，cos B.由ABC的面积S8，得Sacsin B8，解得c4.由余弦定理，得b2a2c22accos B251625465，则b.由正弦定理，得，则.答案：
