1、第六章 不等式(时间：120分钟满分：150分)一、 选择题(每小题5分，共60分)1. 已知集合My|y2x，x0，Nx|ylg(2xx2)，则MN等于(A)A. (1，2) B. (1，) C. 2，) D. 1，) 集合M为函数y2x，x0的值域，故M(1，)；集合N为函数ylg(2xx2)的定义域，由不等式2xx20，解得0x0a；0ab；a0b；ab0中，能推出成立的有(C)A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 成立，即1，且mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关系为(B)A. nmp B. mpn C. mnp D. pmn a
2、1，a212a(a1)20，即a212a，又2aa1，由对数函数的单调性可知loga(a21)loga(2a)loga(a1)，即mpn.4. 已知(a21)x2(a1)x10的解集是R，则实数a的取值范围是(D)A. a1 B. a1C. a1或a1 D. a1 a1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a21，由(a1)24(a21)0，解得a1.综上可知1，则x0的取值范围是(C)A. (1，1) B. (1，) C. (，1)(1，) D. (，2)(0，) 由f(x0)1，可得 或解得x01，故选C.8. 已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an使得4
3、a1，则的最小值为(A)A. B. C. D. 不存在 由题意可知，a5q2a5q2a5，化简得q2q20，解得q1(舍去)或q2，又由已知条件4a1，得 a1qm1a1qn116a，qmn21624，mn6.，当且仅当，即n2m时取“”9. (2013河北质检)已知变量x，y满足约束条件则目标函数z3|x|y3|的取值范围是(A)A. B. C. 2，3 D. 1，6 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知三个交点分别为(0，1)，(2，0)，且x0, y3.则z3|x|y3|3x(y3)3xy3，它在点(2，0)处有最大值9，在点处有最小值，即z9.10. (2013临沂质检
4、)已知实数x，y满足不等式组若目标函数zyax取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围为(D)A. (，1) B. (0，1)C. 1，) D. (1，) 本题考查线性规划问题作出不等式组表示的平面区域BCD，由zyax得yaxz，要使目标函数yaxz仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线yaxz在点B(1，3)处的截距最大，由图像可知akBD，kBD1，a1，即a的取值范围为(1，)，故选D.11. 已知a0，b0，c0，且ab1，a2b2c24，则abbcac的最大值为(A)A. 12 B. C. 3 D. 4 依题意，4c2a2b22ab2，0c22，c2(ab)2c2(
5、6c2)(c23)298，c(ab)2，因此abbcac1c(ab)12(当且仅当ab1，c时等号成立)，故选A.12. 设x，y，z为正实数，且满足x2y3z0，则的最小值为(C)A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由已知条件得y，3，当且仅当xy3z时，取得最小值3.二、 填空题(每小题5分，共20分)13. 若a1a2，b1a1b2a2b1_ 作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，a1a2，b10，即a1b1a2b2a1b2a2b1.14. (2013湖北八校联考)已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_2_ 作出可行域，如图阴影部分所示，
6、由图可知，zx2y在(0，1)处取得最小值2.15. 设x，y为实数，若x2y2xy1，则xy的最大值是_2_ 设txy，则yxt，代入x2y2xy1中，得3x23txt210，由于x为实数，故(3t)243(t21)0，即t24，解得2t2，故t的最大值，即xy的最大值为2.16. 已知函数f(x1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，则不等式f0的解集为_(2，)_ f(x1)是定义在R上的奇函数，f(x1)f(x1)，令x0，则f(1)0.又(x1x2)f(x1)f(x2)0，f(x)在R上单调递减，f0f(1)，x2
7、x1，解得x或x2，不等式 f0的解集为(2，)三、 解答题(共70分)17. (10分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为 180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 (1)如图，设矩形的另一边长为a m则y45x180(x2)1802a225x360a360，(2分)由题意得xa36
8、0，得a.(3分)y225x360(x0)(5分)(2)x0，225x210 800，(7分)y225x36010 440，当且仅当225x时，等号成立，(9分)即当x24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元(10分)18. (10分)已知函数f(x)|x21|x2kx.(1)若k2，求方程f(x)0的解；(2)若关于x的方程f(x)0在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明4. (1)当k2时，f(x)|x21|x22x，当x210，即x1或x1时，方程化为2x22x10，解得x，01，故舍去，x.(2分)当x210，即1x1时，方程化为2x10
9、，解得x.(3分)由可知，当k2时，方程f(x)0的解为x或x.(4分)(2)不妨设0x1x22，f(x) f(x)在(0，1上是单调函数，故f(x)0在(0，1上至多有一个解(6分)若1x1x22，则x1x20，故不符合题意，因此0x11x22.由f(x1)0得k，k1；由f(x2)0得k2x2，k1.故当k1时，方程f(x)0在(0，2)上有两个解；(8分)当0x11x22时，k，2xkx210，消去k得2x1xx1x20，即2x2，x22，4.(10分)19. (12分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费
10、用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A(件)产品B(件)研制成本与搭载费用之和(万元/件)2030计划最大资金额300万元产品重量(千克/件)105最大搭载重量110千克预计收益(万元/件)8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 设搭载x件产品A，y件产品B，预计总收益z80x60y，则 作出可行域，如图(6分)作出直线l0：4x3y0并平移，由图像得，当直线经过M点时z能取得最大值，由解得即M(9，4)zmax809604960(万元)(10分)即应搭载9件产品A，4件产品B，可使得总预计收益最大，为 960万元(1
11、2分)20. (12分)已知不等式ax2(a1)xa10对于所有的实数x都成立，求a的取值范围 若a0，原不等式为一次不等式可化为x10，显然它对于任意的x不都成立a0不符合题目要求(3分)若a0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数x都成立，对应二次函数的图像抛物线必须开口向下，且判别式0，解得a1.(8分) a.(10分)a的取值范围是.(12分) 21. (12分)将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗假定A，B两组同时开始种植(1)根据历年统计数据，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小时，应如何分
12、配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调 6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间 (1)设A组人数为x，且0xF(20)当A，B两组人数分别为20，32时，植树活动持续时间最短(6分)(2)A组所需时间为1(h)，(8分)B组所需时间为1(h)，(10分)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，则有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)证明：f(x)在0，1上为增函数；(2)若对于任意x0，1，总有4f2(x)4(2a)f(x)54a0，求实数a的取值范围； (3)比较f与1的大小，并给予证明 (1)设0x10，即f(x2)f(x1)故f(x)在0，1上是增函数(4分)(2)由(1)知f(x)在x0，1上是增函数，则f(x)f(1)1，1f(x)0，当f(x)1时，容易验证不等式成立；当f(x)1时，则4f2(x)4(2a)f(x)54a0a对 x0，1恒成立，(6分)设y1f(x)1，从而则 a1，综上，a的取值范围为(，1(8分)(3)令Sn，则Sn，(10分)Sn，Sn11.f1.(14分)
