1、专题18 情境问题的探究之函数部分一、题型选讲题型一 、指对数模型例1、【2020年高考全国卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln193）A60B63C66D69【答案】C【解析】，所以，则，所以，解得.故选：C例2、【2020年新高考全国卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎
2、疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69) A1.2天B1.8天C2.5天 D3.5天【答案】B【解析】因为，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B题型二、分段函数模型例3、 黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：，若函数是定义
3、在上的奇函数，且，当时，则_.【答案】【解析】 由知：关于对称，又为奇函数，图象关于原点对称 为周期函数，周期例4、电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”2019年，公安部交通管理局下发关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表。经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n
4、(n)小时 才可以驾车，则n的值为（参考数据：ln152.71，ln303.40）驾驶行为类别阁值（mg/100mL）饮酒驾车20，80)醉酒驾车80，) 车辆驾驶人员血液酒精含量阁值 A5 B6 C7 D8【答案】 B【解析】当酒精含量低于20时才可以开车，故结合分段函数建立不等式：取整数故为6小时。题型三、函数与不等式结合例5、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处
5、距P点的距离.设，则（ ）A函数为减函数BC当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h【答案】AC【解析】A.，由题意，在上是减函数，A正确B.，整理得，B错误；C.由A、B得，即时取等号，由，解得，C正确；D.时，D错故选：AC.例6、【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和
6、西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_【答案】130；15【解析】时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.设顾客一次购买水果的促销前总价为元，当元时，李明得到的金额为，符合要求；当元时，有恒成立，即，因为，所以的最大值为.综上，130；15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.例7、【2019年高考全国I卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之
7、比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A165 cmB175 cmC185 cmD190 cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：， 腿长为105 cm得，即，所以AD169.89.头顶至脖子下端长度为26 cm，即AB26，所以.综上，.故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.
8、07+5.15+105+26=178.22，接近175cm故选B二、达标训练1、【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A1010.1 B10.1Clg10.1 D1010.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足，令，则从而. 故选A. 2、【2020年高考全国卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊
9、跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A10名B18名C24名D32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，,故需要志愿者名.故选：B3、（2020香坊区校级三模）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻若，lg20.3010，则x的值约为
10、（）A1.322B1.410C1.507D1.669【答案】A【解析】：由，lg20.3010，所以xlog21.322；即x的值约为1.322故选：A4、一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：，答案采取四舍五入精确到）A. 2.3小时B. 3.5小时C. 5.6小时D. 8.8小时【答案】A【解析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效则，故选：A5、函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经
11、历了贝努利、欧拉等人的改译1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，因此，下列对应法则f满足函数定义的有 ABCD【答案】AD【解析】对于A，可得是函数；对于B 不唯一不是函数对于C 不是函数对于D 运用换元法可得是函数，故
12、选AD6、历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学 家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中Q为有理数集，QC为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中a，bR且ab），以下对说法正确的是A当ab时，的值域为b，a；当ab时，的值域为a，bB任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均
13、不是的周期C为偶函数D在实数集的任何区间上都不具有单调性【答案】BCD【解析】对于A函数的值域为，所以是错误的。对于任意的,则，,所以不是周期函数，对于C,显然可以判断为偶函数对于D由于任意两个有理数之间，有无理数，任意两个无理数之间也有有理数，因此，不具有周期性。7、（2020届山东省济宁市高三上期末）年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年
14、后，碳的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到年之间（参考数据：）【答案】【解析】当时，经过年后，碳的质量变为原来的令，则良渚古城存在的时期距今约在年到年之间故答案为；8、【2018年高考浙江】我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则当时，_，_【答案】8；11【解析】z=81,x+y=195x+3y=73,x=8y=11.故答案为8；11.9、（2020浙江温州中学3月高考模拟）九章算术中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则_，_.【答案】10 900 【解析】由题意可得，解得.故答案为10 900
