1、单元评估检测(三)(第七章)(120 分钟 150 分)一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=12,S5=90,则等差数列an的公差 d=()A.2 B.C.3 D.4【解析】选 C.因为 a1=12,S5=90,所以 512+d=90,解得 d=3.2.在等差数列an中,a5+a13=40,则 a8+a9+a10=()A.72 B.60 C.48 D.36【解析】选 B.根据等差数列的性质可知:a5+a13=402a9=40a9=20,a8+a9+a10=2a
2、9+a9=3a9=60.3.已知等比数列an中,a3a13=20,a6=4,则 a10的值是()A.16 B.14 C.6 D.5【解析】选 D.由等比数列性质可知 a3a13=20,由 a6=4,得 q4=,所以 a10=a6q4=5.4.中国古代数学名著张邱建算经中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里”.其大意:现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续走了 7 天,共走了 700 里,则这匹马第 7 天所走的路程等于()A.里 B.里 C.里 D.里【解析】选 A.设马每天所走的路程是 a1,a2,a7,是公比为 的等比数列,这些项的和为 700,S7=
3、700a1=,a7=a1q6=.5.已知等差数列an的公差不为零,Sn为其前 n 项和,S3=9,且 a2-1,a3-1,a5-1 构成等比数列,则S5=()A.15 B.-15 C.30 D.25【解析】选 D.设等差数列an的公差为 d(d0),由题意 解得 所以 S5=51+=25.6.数列an的前 n 项和 Sn=n2+1 是 an=2n-1 成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解题指南】先根据关系式 an=求出数列an的通项公式,注意验证 n=1 时是否成立,再看求出的通项公式与 an=2n-1 谁能推出谁即可.【解析】选 D.由
4、题意可得,当 n=1 时,a1=S1=1+1=2.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-(n-1)2+1=2n-1,经过验证后当 n=1 时不符合上式,所以前 n 项和 Sn=n2+1 不能推出 an=2n-1,反之,an=2n-1 也不能推出 Sn=n2+1.故数列an的前 n 项和 Sn=n2+1 是 an=2n-1 成立的既不充分又不必要条件.7.已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn,且=,则=()A.B.C.D.15【解析】选 B.因为=.8.已知an是公比不为 1 的等比数列,数列bn满足:a2,a2n成等比数列,cn=,若数列cn的前 n 项和
5、Tn 对任意的 nN*恒成立,则 的最大值为 世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选 C.由 a2,a2n成等比数列得=a2a2n,又an是公比不为 1 的等比数列,设公比为 q,则=q2n,整理得 bn=n+1,cn=,数列cn的前 n 项和 Tn=,数列Tn是递增数列,则当 n=1 时取到最小值为,可得,即的最大值为.二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,多选题全部选对得 5 分,选对但不全对的得 3 分,有选错的得 0 分)9.在等比数列an中,a2a3a4=8,a7=8,则 q=()A.B.2 C.-D.-2【解析】选 AC.因为数列an是等比数列,所以
6、 a2a3a4=8,所以 a3=2,所以 a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,所以 q=或-.10.已知函数 f(n)=且 an=f(n)+f(n+1),则 an 等于()A.-(2n+1)B.2n-1 C.2n+1 D.1-2n【解析】选 AC.当 n 为奇数时,an=n2-(n+1)2=-(2n+1)当 n 为偶数时,an=-n2+(n+1)2=2n+1.11.设等比数列an的公比为 q,其前 n 项和为 Sn.前 n 项积为 Tn,并且满足条件a11,a7a81,0.则下列结论正确的是()A.0q1 C.Sn的最大值为 S9 D.Tn的最大值为 T7【解析】选 AD.因为 a11,
7、a7a81,1,a81,所以 0q1,故 A 正确;a7a9=1,0q1,a87,nN)行,设其第 k(kn,kN+)行中不是 1 的数字之和为 ak,由 a1,a2,a3,组成的数列an的前 n 项和是 Sn.1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 下列结论正确的是()A.a8=254 B.an=+2n C.S3=22 D.Sn=-2-2n【解析】选 AD.由已知得 an=+-2=(1+1)n-2=2n-2,所以 a8=28-2=256-2=254,A 正确;an-an-1=2n-2-2n-1+2=2n-12n,B 不正确;因为 Sn=2-2+22-2+2n-2=-2n=2n
8、+1-2n-2,所以 S3=24-6-2=822,C 不正确,D 正确.三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020泰安模拟)已知数列an为等差数列且 a7=,则 sin(a2+a12)=_.【解析】在等差数列an中,由 a7=,得 a2+a12=2a7=.所以 sin(a2+a12)=sin=.答案:14.在等比数列an中,若 a1=,a4=-4,则公比 q=_,|a1|+|a2|+|an|=_.【解析】本题主要考查了等比数列的通项及其求和.依题意 a1=,a4=-4,则 q3=-4,所以 q3=-8,所以 q=-2.所以 an=
9、(-2)n-1,所以|an|=2n-2.所以|a1|+|a2|+|an|=2n-1-.答案:-2 2n-1-15.设数列an的前 n 项和为 Sn,且nN*,an+1an,SnS6.请写出一个满足条件的数列an的通项公式 an=_.世纪金榜导学号 【解析】nN*,an+1an,则数列an是递增的,nN*,SnS6,即 S6最小,只要前 6 项均为负数,或前 5 项为负数,第 6 项为 0,即可,所以,满足条件的数列an的一个通项公式 an=n-6(nN*)(答案不唯一).答案:n-6(nN*)(答案不唯一)16.(2020沈阳模拟)各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公
10、差为 d(d0)的等差数列,后三项依次成公比为 q 的等比数列.若 a4-a1=88,则 q 的所有可能的值构成的集合为_.世纪金榜导学号 【解析】因为前三项依次成公差为 d(d0)的等差数列,a4-a1=88,所以这四项可以设为a1,a1+d,a1+2d,a1+88,其中 a1,d 为正偶数,后三项依次成公比为 q 的等比数列,所以有=,整理得 a1=0,得(d-22)(3d-88)0,22d0 恒成立,所以 f(x)在1,+)上是增函数,故当 x=1 时,f(x)min=f(1)=3,即当 n=1 时,=,要使对任意的正整数 n,不等式 bnk 恒成立,则需使 k=,所以实数 k 的最小值
11、为.21.(12 分)(2020太原模拟)已知数列an满足 a1=,an+1=.世纪金榜导学号(1)求证:数列是等差数列,并求an的通项公式;(2)若数列bn满足 bn=,求数列bn的前 n 项和 Sn.【解析】(1)因为 an+1=,且可知 an0,所以-=2,所以数列是等差数列.所以=+2(n-1)=2n,即 an=.(2)因为 bn=,所以 Sn=b1+b2+bn=1+,则 Sn=+,两式相减得Sn=1+-=2-,所以 Sn=4-.22.(12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1-2Sn=1(nN*).世纪金榜导学号(1)求证:数列an为等比数列.(2)若数列
12、bn满足:b1=1,bn+1=+.求数列bn的通项公式;是否存在正整数 n,使得bi=4-n 成立?若存在,求出所有 n 的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由 Sn+1-2Sn=1,得 Sn-2Sn-1=1(n2),两式相减,得 an+1-2an=0,即=2(n2).因为 a1=1,由(a1+a2)-2a1=1,得 a2=2,所以=2,所以=2 对任意 nN*都成立,所以数列an为等比数列,首项为 1,公比为 2.(2)由(1)知,an=2n-1,由 bn+1=+,得 bn+1=+,即 2nbn+1=2n-1bn+1,即 2nbn+1-2n-1bn=1,因为 b1=1,所以数列2n-1bn是首项为 1,公差为 1 的等差数列.所以 2n-1bn=1+(n-1)1=n,所以bn=.设 Tn=bi,则 Tn=1+2+3+n,所以 Tn=1+2+3+n,两式相减得 Tn=+-n=-n=2-(n+2),所以 Tn=4-(2n+4).由bi=4-n,得 4-(2n+4)=4-n,即=2n-1.显然当 n=2 时,上式成立,设 f(n)=-2n-1(nN*),即 f(2)=0.因为 f(n+1)-f(n)=-=-0.所以数列f(n)单调递减,所以 f(n)=0 有唯一解 n=2,所以存在唯一正整数 n=2 使得bi=4-n成立.
