1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)分别过点A(2,0)和B(0,-1),则该椭圆的焦距为()A.3B.23C.5D.25解析由题意可得a=2,b=1,所以a2=4,b2=1,所以c=a2-b2=4-1=3,所以2c=23.故选B.答案B2.(原创题)若点A(2,-1)在抛物线y+px2=0上,则该抛物线的准线方程为()A.y=12B.y=18C.x=12D.x=18解析依题意有-1+p(2)2=0,因此p=12,抛物线方程为x2=-2y,故其准线方程为y=12.答案A3.若椭圆x23m+y
2、22m+1=1的焦点在y轴上,则实数m的取值范围是()A.-12,1B.(0,1)C.0,12D.-12,12解析由题意得3m0,2m+10且2m+13m,得0mb0)上任意一点到直线l1:x=-a2c和l2:x=a2c的距离分别为d1和d2,椭圆的焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为()A.1B.12C.22D.2解析由已知,得d1+d2=a2c-a2c=2a2c.由d1,2c,d2成等差数列,得d1+d2=4c,2a2c=4c,得a=2c,离心率e=ca=22,故选C.答案C7.双曲线C:x2-y23=1的一条渐近线与抛物线M:y2=4x的一个交点为P(异于坐标原点O
3、),抛物线M的焦点为F,则OFP的面积为()A.233B.433C.23D.43解析双曲线C:x2-y23=1的一条渐近线方程为y=3x,将y=3x代入抛物线方程,可得3x2=4x,解得x=0(舍)或x=43,所以P43,433,又抛物线y2=4x的焦点F(1,0),则OFP的面积为S=121433=233.故选A.答案A8.设A,P是椭圆x22+y2=1上的两点,点A关于x轴的对称点为点B(异于点P),若直线AP,BP分别交x轴于点M,点N,则OMON的值等于()A.0B.1C.2D.2解析不妨设点P是椭圆的右顶点,即P(2,0),因为A,B两点关于x轴对称,所以直线AP,BP与x轴的交点都
4、是点P,即M,N,P三点重合,则OMON=(2,0)(2,0)=2.答案D9.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,若AF1F2的面积为3,且F1AF2=4AF1F2,则椭圆方程为()A.x23+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y2=1D.x24+y23=1解析在AF1F2中,由题意可得AF1=AF2,F1AF2=4AF1F2,可得AF1F2=30,所以bc=33,又AF1F2面积为3,即S=bc=3,解得b=1,c=3,则a=b2+c2=2,所以椭圆方程为x24+y2=1.答案C10.已知点A(3,0),点P在抛物线y2=4x上,过点P的直线
5、与直线x=-1垂直相交于点B,|PB|=|PA|,则cosAPB的值为()A.12B.13C.-12D.-13解析由题可知,抛物线的焦点F(1,0),由于过抛物线y2=4x上一点P的直线与抛物线的准线x=-1垂直相交于点B,可得|PB|=|PF|,又|PB|=|PA|,故|PA|=|PF|,所以点P的坐标为(2,22),点B的坐标为(-1,22),可得|AB|=26,由余弦定理得cosAPB=|PB|2+|PA|2-|AB|22|PB|PA|=32+32-(26)2233=-13.答案D11.直线y=k(x-1)与椭圆C:x24+y22=1交于不同的两点M,N,椭圆x24+y22=1的一个顶点
6、为A(2,0),当AMN的面积为103时,则k的值为()A.2B.3C.1D.5解析直线y=k(x-1)与椭圆C联立y=k(x-1),x24+y22=1消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2,|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d=|k|1+k2,AMN的面积S=12|MN|d=|k|4+6k21+2k2.AMN的面积为103,|k|4+6k21+2k2=103,k=1,故选C.答案C1
7、2.如图所示,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l,交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=2+1,则此抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=2xC.y2=3xD.y2=3x解析如图,过A作AD垂直于抛物线的准线,垂足为D,过B作BE垂直于抛物线的准线,垂足为E,P为准线与x轴的交点,由抛物线的定义,|BF|=|BE|,|AF|=|AD|=2+1,因为|BC|=2|BF|,所以|BC|=2|BE|,所以DCA=45,|AC|=2|AD|=2+2,|CF|=|AC|-|AF|=2+2-2-1=1,所以|PF|=|CF|2=22,即p=|PF|=22,
8、所以抛物线的方程为y2=2x,故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知双曲线C:y2a2-x2b2=1的焦距为4,点P(1,3)在C的渐近线上,则C的方程为.解析双曲线C:y2a2-x2b2=1的渐近线方程为y=abx.双曲线C的焦距为2c=4,点P(1,3)在C的渐近线上,可得a=3b,c2=a2+b2,a2=3,b2=1,双曲线C的方程为y23-x2=1.答案y23-x2=114.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为2,椭圆C:x2a2+y23=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过点F的直线l与圆M相切,则a的值等于.解析圆M的方
9、程可化为(x+m)2+y2=3+m2,由题意得m2+3=4,即m2=1(m0,b0)与抛物线C:y2=2px(p0)有共同的一个焦点,过双曲线E的左焦点且与抛物线C相切的直线恰与双曲线E的一条渐近线平行,则E的离心率为.解析因为抛物线与双曲线共焦点,所以c=p2,p=2c,抛物线方程为y2=4cx,设双曲线的左焦点为F1,F1(-c,0),过F1与一条渐近线y=bax平行的直线方程为y=ba(x+c),由y2=4cx,y=ba(x+c)得by2-4acy+4bc2=0,所以=16a2c2-16b2c2=0,所以a=b,从而c=a2+b2=2a,离心率为e=ca=2.答案216.已知P为抛物线y
10、=14x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是.解析抛物线方程可化为x2=4y,焦点为F(0,1),准线为l:y=-1.延长PM交准线于N,连接PF,由抛物线定义,得|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1,由于PAF中,|PA|+|PF|AF|,所以当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.又因为|AF|=22+12=5,故|PA|+|PM|的最小值为5-1.答案5-1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦
11、点为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,7)在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程;(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E,F,若OEF的面积为22,求直线l的方程.解(1)由已知c=2及点P(3,7)在双曲线C上,得a2+b2=4,32a2-(7)2b2=1,解得a2=2,b2=2,双曲线C的方程为x22-y22=1.(2)由题意,知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,由y=kx+2,x22-y22=1,得(1-k2)x2-4kx-6=0.(*)设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个不等实根,1-k20且=1
12、6k2+24(1-k2)0,即k20),则p2=2,所以轨迹M的方程为y2=8x.(2)轨迹M的焦点(2,0),直线l的斜率k=tan135=-1,于是其方程为y=-(x-2).由y=-(x-2),y2=8x,消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,于是|AB|=x1+x2+p=12+4=16.19.(本小题满分12分)已知F1,F2是椭圆M:y2a2+x2b2=1(ab0)的两个焦点,椭圆M的离心率为63,P(x0,y0)是椭圆M上异于上下顶点的任意一点,且PF1F2面积的最大值为22.(1)求椭圆M的方程;(2)若过点C(0,1)的直线l与椭
13、圆C交于A,B两点,AC=2CB,求直线l的方程.解(1)据题意,得ca=63,122cb=22,c2=a2-b2,a2=6,b2=2.椭圆M的方程为y26+x22=1.(2)据题设分析知,直线AB的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1.联立y=kx+1,y26+x22=1,消去y得(3+k2)x2+2kx-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2k3+k2,x1x2=-5x+k2.AC=2CB,(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1),x1=-2x2,x1+x2=-x2=-2k3+k2,即x2=2k3+k2.又x1x2=-2x22=-53+k2,2k3+k22=5
14、3+k212,k=5.故直线l的方程为y=-5x+1,或y=5x+1.20.(本小题满分12分)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F恰好是双曲线12x2-4y2=3的一个焦点,O是坐标原点.(1)求抛物线方程;(2)经过焦点F作直线l,与抛物线相交于A,B两点,|AB|=5,若OA+OB=mOD,且点D在抛物线上,求实数m的值.解(1)双曲线方程12x2-4y2=3可化为x214-y234=1,因此c2=14+34=1,c=1,因此双曲线的一个焦点是(1,0),于是抛物线y2=2px(p0)的焦点为F(1,0).则p2=1,2p=4,故抛物线标准方程为y2=4x.(2)依题意,直线l的斜率一
15、定存在,设其为k,则l的方程为y=k(x-1).由y=k(x-1),y2=4x,可得y2-4ky-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,x1+x2=4k2+2.因为|AB|=|FA|+|FB|=x1+x2+2=4k2+4=5,所以k2=4,即k=2.设D(x0,y0),则由OA+OB=mOD,得x0=1m(x1+x2)=4+2k2mk2=3m,y0=1m(y1+y2)=2m,由于点D在抛物线上,因此4m2=12m,可得m=13.21.(本小题满分12分)已知点F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,点M是抛物线上的定点,且MF=(4,0).(1)求抛物线C的方程;
16、(2)直线AB与抛物线C交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x2-1=x1+m2(m为常数),直线l与AB平行,且与抛物线C相切,切点为N,试问ABN的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.解(1)设M(x0,y0),由题意知F0,p2,所以MF=-x0,p2-y0=(4,0).所以-x0=4,p2-y0=0,即x0=-4,y0=p2.代入x2=2py(p0)中得16=p2,解得p=4.所以抛物线C的方程为x2=8y.(2)由题意知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b.由y=kx+b,x2=8y,消去y,整理得x2-8kx-8b=0,则x1+x2=8k,
17、x1x2=-8b.y1+y2=k(x1+x2)+2b=8k2+2b,设AB的中点为Q,则点Q的坐标为(4k,4k2+b).由条件设切线方程为y=kx+t,由y=kx+t,x2=8y,消去y整理得x2-8kx-8t=0.直线与抛物线相切,=64k2+32t=0.t=-2k2.x2-8kx+16k2=0,解得x=4k,y=2k2,切点N的坐标为(4k,2k2).NQx轴,|NQ|=(4k2+b)-2k2=2k2+b.x2-x1=m2+1,(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=64k2+32b,2k2+b=(m2+1)232.SABN=12|NQ|x2-x1|=12(2k2+b)|x2-x
18、1|=(m2+1)364.m为常数,ABN的面积为定值,且定值为(m2+1)364.22.(本小题满分12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.证明:PQG是直角三角形;求PQG面积的最大值.解(1)由题设得yx+2yx-2=-12,化简得x24+y22=1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0)
19、.由y=kx,x24+y22=1,得x=21+2k2.记u=21+2k2,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为k2,方程为y=k2(x-u).由y=k2(x-u),x24+y22=1,得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.()设G(xG,yG),则-u和xG是方程()的解,故xG=u(3k2+2)2+k2,由此得yG=uk32+k2.从而直线PG的斜率为uk32+k2-uku(3k2+2)2+k2-u=-1k.所以PQPG,即PQG是直角三角形.由得|PQ|=2u1+k2,|PG|=2ukk2+12+k2,所以PQG的面积S=12|PQ|PG|=8k(1+k2)(1+2k2)(2+k2)=8(1k+k)1+2(1k+k)2.设t=k+1k,则由k0,得t2,当且仅当k=1时取等号.因为S=8t1+2t2在区间2,+)内单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为169.因此,PQG面积的最大值为169.
