1、高中数学竞赛模拟试题一一、 选择题：1.设集合，映射使得对任意的，都有是奇数，则这样的映射的个数是 （ ）（A）45 （B）27 （C）15 （D）112.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则ABC的形状是 （ ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形3.设函数，它们的图象在轴上的公共点处有公切线，则当时，与的大小关系是 （ ）（A）（B）（C）（D）与的大小不确定4.设AB是椭圆（）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则+的值是 （ ）（A） （B） （C） （D）5
2、.已知正方体ABCDA1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线，使直线与直线AC和BC1所成的角都等于600，这样的直线可以作 （ ）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条6.的小数表示中，小数点后至少连续有 （ ）（A）个零（B）个零（C）个零（D）个零二、 填空题：7.已知，则的值是_.8.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.9.不等式的解集为_.10.把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为_.11.设均为正实数，且，则的最小值为_.12.关于的三次函数的两个极值点为P、Q，其中P为原点，Q在曲线
3、上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为_.三、 解答题：13.已知椭圆（），过椭圆中心O作互相垂直的两条弦AC、BD，设点A、B的离心角分别为和，求的取值范围。14.若、，且满足，求的最大值。15.某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列如下：12312P设每售出一台电冰箱，电器商获利300元。如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元。问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？A A B D B A提示：当时，为奇数，则可取1、3、5，有3种取法；当时，为奇数，则可取1、3、5，有3种取法；当时，为奇数，则可取1、2、3、4、5
4、，有5种取法。由乘法原理知共有个映射提示：提示：与的图象在轴上有公共点，.,由题意,令,则在其定义域内单调递减.由,当时,即.提示：（方法一）由椭圆的定义知()，由题意知关于轴成对称分布，又，故所求的值为.（方法二）+（A,B关于轴成对称分布）提示：易知异面直线AC与BC1所成的角为600，因此，本题等价于：已知直线与所成的角为600，则过空间一点P且与、所成的角都是600的直线有且仅有多少条？这不难可判断有3条。提示：由二项式定理知易证，因此与的小数部分完全相同。，即的小数表示中小数点后面至少接连有个零，因此，的小数表示中，小数点后至少连续有个零。【答案】.提示：弦切变换,构造齐次式解题.
5、.【答案】. 提示：（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为.（方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于.【答案】.提示：原不等式等价于设，则，从而原不等式可化为【答案】.提示：4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以大球半径为.(其中,表示正四面体的高,表示正四面体的棱长.)【答案】. 提示：令，则，且，其中【答案】. 提示：设，依题
6、意知：，故，由及点Q在其上，可设Q点的坐标为. 由Q为的一个极值点得，显然，存在最大值，数形结合可求得，其最小值为.解：当AC、BD与坐标轴重合时，；当AC、BD与坐标轴不重合时，令，则，.由题意知,则,.当且仅当，即BD的倾斜角为或时，上式取等号。.解:由均值不等式得,等号成立当且仅当,故的最大值为100 .解：设为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑的情况。设电器商每月的收益为元，则是随机变量的函数，且.电器商每月获益的平均数,即数学期望为.,当时,也就是电器商每月初购进8台或9台电冰箱,收益最大.高中数学竞赛模拟试题二四、 选择题：1.设、为实数，则下列四个结论中正确的是 （
7、）（A）（B）（C）且（D）且2.在ABC中，若，则是ABC只有一解的 （ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件3.已知向量,定义函数.若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 （ ）（A）（B）（C）（D）4.设E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，则二面角CFGE的大小是 （ ）（A）（B）（C）（D）5.把数列依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），在第100个括号内各数之和为 （
8、 ）（A）1992 （B）1990 （C）1873 （D）18916.设，满足，使，一定是的一个排列的最大数是 （ ）（A）4 （B）6 （C）8 （D）9五、 填空题：7. 若实数、满足条件，则的取值范围是_.8. 对于给定的正整数，等式成立，则所有的一定形如_.（用的组合数表示）9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望=_.10. 设点F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点、以F2为焦点。设P点为椭圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E的离心率满足，则的值为_.11. 已知,关于的方程,则这个方程有相异实根的个数情
9、况是_.12. 函数（）的单调递增区间是_.六、 解答题：13.向量、满足条件，试判断P1P2P3的形状，并加以证明。14.设数列满足（），求证：.15.设函数，其中（1）求的取值范围，使得函数在上是单调递减函数；（2）此单调性能否扩展到整个定义域上？（3）求解不等式【答案】D(提示：若,则,则.若,则对于二次函数,由可得结论.) A A D A C【答案】.提示:令【答案】().提示:由得,从而().【答案】 提示: 取值为0,1,2,3，且有，. .【答案】【答案】0或2或3或4. 提示：令，利用数形结合知：当时，方程无实数根；当时，方程有2个实数根；当时，方程有3个实数根；当时，方程有4个实数根。【答案】. 提示：（），利用典型函数来分析；本题也可直接依函数的单调性定义来分析。解:，.又，在P2OP3中，由余弦定理可求得.同理可求得，.P1P2P3为正三角形.证明:由题意知当时,命题成立；当时，由，得，从而有解：（1）设，则设，则显然.,只需要,就能使在上是单调递减函数；（2）此单调性不能扩展到整个定义域上，这可由单调性定义说明之；（3）构造函数，由（1）知当时，是单调递增函数。，所求解集为.
