1、第二讲数形结合思想思想方法诠释数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确要点一利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根【例1】(1)(2019辽宁大连模拟)f(x)2sinxx1的零点个数为()A4B5C6D7(2)(2019天津卷)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A. B.C.1 D.1解题指导解析(1)令
2、2sinxx10，则2sinxx1，令h(x)2sinx，g(x)x1，则f(x)2sinxx1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题h(x)2sinx的最小正周期为T2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1)g(1)，hg，g(4)32，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sinxx1的零点个数为5.故选B.(2)如图，作出函数f(x)的图象当直线yxa与y相切时，y，得x2(x2舍去)，y，即切点坐标为，代入yxa，得a1.此时f(x)与yxa的图象有两个交点，符合题意；当直线yxa过点(1,1)时，1a，得a，也符合题意；当直线yx
3、a过点(1,2)时，2a，得a，也符合题意故结合图象可得当a1时，f(x)的图象与直线yxa至多有一个交点；当a1时，f(x)的图象与直线yxa有两个交点；当1a时，f(x)的图象与直线yxa有一个交点综上，a的取值范围是1故选D.答案(1)B(2)D求方程解、函数零点问题的2个注意点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合1(2019吉林长春3月测试)已知函数f(x)若方程f(x)xa
4、有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，0B0,1)C(，1)D0，)解析函数f(x)的图象如图所示，当a1时，函数yf(x)的图象与函数yxa的图象有两个交点，即方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根答案C2(2019陕西宝鸡质检)若方程xk有且只有一个解，则k的取值范围是()A1,1)BkC1,1Dk或k1,1)解析令y1xk，y2，则x2y21(y0)作出图象如图：而y1xk中，k是直线的纵截距，由图知：方程有一个解直线与上述半圆只有一个公共点k或1k1，故选D.答案D要点二利用数形结合思想研究最值问题【例2】(1)(2019山东菏泽模拟)实数x，y满足不等式组则z
5、|x2y4|的最大值为()A. B21C20D25(2)(2019湖北武汉二模)已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_解题指导(1)(2)解析(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示z|x2y4|，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x2y40的距离的倍由得B点坐标为(7,9)，结合图形可知z的最大值为|7294|21.(2)因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知APF的周长为|PF|PA
6、|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0，故使APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为，故填.答案(1)B(2)解决最值问题的3点思路(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解(3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解1(2019安徽安
7、庆模拟)如果实数x，y满足(x2)2y23，则的最大值为()A. B.C. D.解析方程(x2)2y23的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径为r(如图)，而则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0,0)的连线的斜率所以该问题可转化为动点A在以M(2,0)为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值由图可知当OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，此时OM2，AM，OAAM，则OA1，tanAOM，故的最大值为，故选D.答案D2(2019山西太原模拟)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2BCD1解析解法
8、一：(解析法)建立直角坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1,0)，C(1,0)设P点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故选B.解法二：(几何法)如图所示，2(D为BC的中点)，则()2.要使最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2)min2|，问题转化为求|的最大值又|2，|22，()min(2)min2.故选B.答案B要点三利用数形结合思想研究不等式、参数问题【例3】(1)(2019河南郑州二模)使log2(x)f(a)，则实数a的取值范
9、围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析因为f(x)是奇函数，所以当xf(a)，得2a2a，解得2a1.故选C.答案C2(2019福建厦门模拟)对x，8xlogax1恒成立，则实数a的取值范围是_解析当0x时，函数y8x1的图象如图中实线所示对x，8xlogax1恒成立，当x时，ylogax的图象恒在y8x1的图象的上方(如图中虚线所示)ylogax的图象与y8x1的图象交于点时，a，a1.答案a1思想方法归纳上运用数形结合思想分析解决问题的三原则1等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完
10、整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明2双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的3简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单专题强化训练(二)一、选择题1(2019山西长治二模)在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为线段BC上的点，则的最小值为()A2 B. C.D4解析如图所示，以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,2)，D(
11、1,2)，E(x,0)，所以(x，2)(x1，2)x2x42，因为E为线段BC上的点，所以x0,1，故当x时，取得最小值.故选B.答案B2(2019广东广州测试)若x，y满足约束条件则zx22xy2的最小值为()A. B. CD解析画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，zx22xy2(x1)2y21，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(1,0)的距离的最小值为，故zx22xy2的最小值为zmin1，选D.答案D0 03.(2019安徽江南十校4月联考)记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定
12、义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3,13x的最大值为()A5B6 C8D10解析在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图：由图可知，在实数集R上，minx21，x3,13x为yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y13x点C下方的部分的组合图显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3,13x取得最大值解方程组得点C(5,8)所以f(x)max8.答案C4(2019云南昆明模拟)函数f(x)lnxxa有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(，1B(，1)C1，)D(1，)解析函数f(x)lnxxa的零点，即关于x的方程l
13、nxxa0的实根，将方程lnxxa0化为方程lnxxa，令y1lnx，y2xa，由导数知识可知，直线y2xa与曲线y1lnx相切时有a1，如图所示，若关于x的方程lnxxa0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(，1)故选B.答案B5(2019九江十校联考)设A，B在圆x2y21上运动，且|AB|，点P在直线l：3x4y120上运动，则|的最小值为()A3B4 C. D.解析设AB的中点为D，则2.当且仅当O，D，P三点共线时，|取得最小值，此时OPAB，且OPl.圆心到直线的距离为，|OD| ，|的最小值为2.答案D6(2019广西南宁模拟)设P为双曲线x21右支上一点，M，N分别是圆C1
14、：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21上的点，设|PM|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|mn|()A4B5 C6D7解析由题意得，圆C1：(x4)2y24的圆心为(4,0)，半径为r12；圆C2：(x4)2y21的圆心为(4,0)，半径为r21.设双曲线x21的左、右焦点分别为F1(4,0)，F2(4,0)如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|PF2|2.又|PM|max|PF1|r1，|PN|min|PF2|r2，所以|PM|PN|的最大值m|PF1|PF2|r1r25.又|PM|min|PF1|r1，|PN|max|PF2|r2，所以|PM|PN|的最小值
15、n|PF1|PF2|r1r21，所以|mn|6.故选C.答案C二、填空题7(2019河北衡水中学二调)函数f(x)3xx24的零点个数是_解析令f(x)0，则x24x，分别作出函数g(x)x24，h(x)x的图象，由图可知，显然h(x)与g(x)的图象有2个交点，故函数f(x)的零点个数为2.答案28(2019广东珠海一中4月模拟)设函数f(x)x|xa|的图象与函数g(x)|x1|的图象有三个不同的交点，则a的取值范围是_解析易知a0时不满足题意当a0时，f(x)与g(x)的图象如图(2)根据图(2)知要满足f(x)与g(x)的图象有三个不同交点，需a1.a的取值范围是(1，)答案(1，)9
16、(2019山西四校模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为_解析由题意可得即又a4a13d，故此题可转化为线性规划问题画出可行域如图阴影部分所示作出直线a13d0，经平移可知当直线a4a13d过可行域内点A(1,1)时，纵截距最大，此时a4取最大值4.答案4三、解答题10(2019海南海口模拟)设关于的方程cossina0在区间(0,2)内有相异的两个实数、.(1)求实数a的取值范围；(2)求的值解(1)原方程可化为sin，作出函数ysin(x(0,2)的图象由图知，方程在(0,2)内有相异实根，的充要条件是即2a或a2.(2)由图知：当a2，即时，直线y与
17、三角函数ysin的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为，所以，所以.当2a，即时，直线y与三角函数ysin的图象有两交点A、B，由对称性知，所以，综上所述，或.11(2019山东德州模拟)已知直线l：xy1与圆M：x2y22x2y10相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，求四边形ABCD面积的最大值解把圆M：x2y22x2y10化为标准方程：(x1)2(y1)23，圆心(1，1)，半径r.直线l与圆M相交，圆心到直线l的距离d，所以弦长|AC|2 .又B，D两点在圆上，且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形ABC和ACD的面积之和，如图所示，当
18、B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为S|AC|BE|AC|DE|AC|BD|2.12(2019四川成都调研)已知A(1,1)为椭圆1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|PA|的最大值和最小值解由1可知a3，b，c2，左焦点F1(2,0)，右焦点F2(2,0)由椭圆定义，知|PF1|2a|PF2|6|PF2|，|PF1|PA|6|PF2|PA|6|PA|PF2|.如图，由|PA|PF2|AF2|，知|PA|PF2|.当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“”，当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“”，即|PA|PF2|的最大、最小值分别为，.于是|PF1|PA|的最大值是6，最小值是6.
