1、双曲线的基本性质强化训练（学生版）1、(2022合肥市名校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. B. C2 D.2、(2022山东滨州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5，0)，F2(5，0)，则不能使双曲线C的方程为1的条件是()A双曲线的离心率为B双曲线过点C双曲线的渐近线方程为3x4y0D双曲线的实轴长为43、(2022亳州模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|2a，
2、F1AF2，则()A1 B. C. D.4、(2021北京卷)双曲线1(a0，b0)过点(，)，离心率为2，则双曲线的方程为()A.y21 B.x21C.1 D.15、(多选)(2021重庆诊断)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x2)2y2r和C2：(x2)2y2r，其中常数r1，r2为正数且满足r1r24，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()A.两个椭圆B.两个双曲线C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线6、(多选)(2022长沙调研)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A.双曲
3、线C的渐近线方程为yxB.以F1F2为直径的圆的方程为x2y21C.点P的横坐标为1D.PF1F2的面积为7、(多选)(2022福州调研)设F1，F2为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过左焦点F1且斜率为的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是()A.直线l倾斜角的余弦值为B.若|F1P|F1F2|，则C的离心率eC.若|PF2|F1F2|，则C的离心率e2D.PF1F2不可能是等边三角形8、设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.9、(2022杭州模拟)
4、设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|PF2|4a，且F1PF260，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 B.2xy0C.x2y0 D.2xy010、(2022石家庄模拟)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，) B.(1，2)C.(1，1) D.(2，1)11、(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为(A)AyxByxCyxDyx12、(2021江西赣州期末)若F1，F
5、2是双曲线1(a0，b0)与椭圆1的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为()Ay2xByxCyxDyx13、(2021山东、湖北重点中学联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线的斜率之积等于4，则双曲线C的离心率为()ABCD14、(2021江苏无锡质检)若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2y24y20所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()ABC2D15、(2021河北邯郸模拟)设双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|a|PF1|，则C的离心率的取值范围是(
6、)A(1，)B(，)C(1,1D1，)16、(2021安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为yx，一个焦点F(2,0)，则该双曲线的虚轴长为()A1BC2D217、(2021云南、贵州、四川、广西联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|MF1|，P为线段NF1的中点若|F1F2|4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为()AyxByxCyxDy2x18、(2021河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线1(a0，b0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若AEB是钝角，则该
7、双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，)B(1,1)C(2，)D(2,1)19、设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A. B. C.1 D.20、已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.3222、(多选)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点
8、，则()A.渐近线方程为yxB.渐近线方程为yxC.MAN60D.MAN12023、设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C.2 D.24、(2022长春市质量监测)已知双曲线1(a0，b0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x25、(2022安徽皖南名校联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得0，
9、直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()A. B.C2 D.26、(2021全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()ABCD27、(2020全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A4B8C16D3228、已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2B2，) C(1，D，)29、(2020高考天津卷)设双曲线C的方程为1(
10、a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.1 Bx21C.y21 Dx2y2130、已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，则双曲线的实轴长是()A32 B16C84 D431、(2020新高考卷改编)已知曲线C：mx2ny21，下列说法错误的是()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线32、(多选)设F1，F2分别是双曲线C：1的左、右焦
11、点，且|F1F2|4，则下列结论正确的有()Am2B当n0时，C的离心率是2CF1到渐近线的距离随着n的增大而减小D当n1时，C的实轴长是虚轴长的两倍33、(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若ABF1为正三角形，则()Ab2BC的焦距为2CC的离心率为DABF1的面积为434、(多选)已知椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF2，则下列各项正确的是()A2Be1e2CeeDee13
12、5、已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.36、已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|2|MF2|，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.37、已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A2 B4C6 D838、已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|
13、AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.39、(2021高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()A.B.C. D.40、(2022淮北模拟)过双曲线C：1(ab0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为_41、 (2021武汉武昌区调研)双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_.42、(2021高考全国卷乙)已知双曲线C：y21(m0)的
14、一条渐近线为xmy0，则C的焦距为_43、(2021高考全国卷乙)双曲线1的右焦点到直线x2y80的距离为_44、(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，0，则C的离心率为_.45、(2022淮北二模)已知双曲线C：1(a0，b0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为_46、(2022长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当APF周长最小时，则点P的坐标为_47、(2022湖北七市
15、(州)联考)已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是_.48、(2022临川一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i1，2)，使得0，则双曲线离心率的取值范围是_49、.(2021长沙模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且F1AF2，则该双曲线离心率的取值范围为_.50、(2022青岛诊断)已知曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的
16、方程为yx，右焦点F到直线x的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.双曲线的基本性质强化训练（解析版）1、(2022合肥市名校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. B. C2 D.解析：设P(xP，yP)，则双曲线的焦半径|PF1|exPa，|PF2|exPa，由|PF1|4|PF2|可得exPa4(exPa)，即3exP5a，所以xP.由于点P在双曲线的右
17、支上，则xPa，从而e，即此双曲线的离心率e的最大值为.2、(2022山东滨州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5，0)，F2(5，0)，则不能使双曲线C的方程为1的条件是()A双曲线的离心率为B双曲线过点C双曲线的渐近线方程为3x4y0D双曲线的实轴长为4解析：选D.由题意可得焦点在x轴上，且c5，A选项，若双曲线的离心率为，则a4，所以b2c2a29，此时双曲线的方程为1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x4y0，可设双曲线的方程为m(m0)，所以c216m9m25，解得m1，所以此时双曲线的方程
18、为1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a2，所以b2c2a221，此时双曲线的方程为1，故D错误故选D.3、(2022亳州模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|2a，F1AF2，则()A1 B. C. D.解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a.又|AF1|2a，所以|AF2|4a，因为F1AF2，所以SAF1F2|AF1|AF2|sinF1AF22a4a2a2.由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a，所以|BF1|2a|BF2|，又知|BF1|2a|BA|，所以BAF2为等边三角形
19、，边长为4a，所以SABF2|AB|2(4a)24a2，所以.故选B.4、(2021北京卷)双曲线1(a0，b0)过点(，)，离心率为2，则双曲线的方程为()A.y21 B.x21C.1 D.1解析：双曲线离心率e2，故c2a，ba，将点(，)代入双曲线方程，得1，故a1，b，故双曲线方程为x21.5、(多选)(2021重庆诊断)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x2)2y2r和C2：(x2)2y2r，其中常数r1，r2为正数且满足r1r24，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()A.两个椭圆B.两个双曲线C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线解析：由题意得，圆C1的圆
20、心为C1(2，0)，半径为r1，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r2，所以|C1C2|4，设动圆P的半径为r.因为r1r24，所以两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切.若均内切，则|PC1|rr1，|PC2|rr2，此时|PC1|PC2|r1r2|，当r1r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上.若均外切，则|PC1|rr1，|PC2|rr2，此时|PC1|PC2|r1r2|，则点P的轨迹与相同.若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则|PC1|rr1，|PC2|rr2，|PC2|PC1|r1r2
21、.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，|PC1|PC2|r1r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与中双曲线不一样.6、(多选)(2022长沙调研)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A.双曲线C的渐近线方程为yxB.以F1F2为直径的圆的方程为x2y21C.点P的横坐标为1D.PF1F2的面积为解析：等轴双曲线C：y2x21的渐近线方程为yx，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2y22上，不妨设点P(x0，
22、y0)在直线yx上，所以由解得|x0|1，则点P的横坐标为1，故C正确；由上述分析可得PF1F2的面积为21，故D正确.7、(多选)(2022福州调研)设F1，F2为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过左焦点F1且斜率为的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是()A.直线l倾斜角的余弦值为B.若|F1P|F1F2|，则C的离心率eC.若|PF2|F1F2|，则C的离心率e2D.PF1F2不可能是等边三角形解析：设直线倾斜角为，则tan ，所以cos ，A正确；P在第一象限内，若|F1P|F1F2|，则|F1P|F1F2|2c，|PF2|2c2a，由余弦定理得，整理得3e28
23、e40，解得e2或e(舍去)，B错误；若|PF2|F1F2|，则|PF2|F1F2|2c，|PF1|2c2a，由余弦定理得cosPF1F2，整理得3e2e40，解得e或e1(舍去)，C错误；由|PF1|PF2|，知PF1F2不可能是等边三角形，D正确. 8、设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.解析：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为y2，将圆y2与圆x2y2a2的方程相减得cxa2，即x，所以点P，Q的横坐标均为.由于PQ是圆x2y2a2的一条弦，因此a2，
24、即a2，即a2，所以c22ab，即a2b22ab(ab)20，所以ab，因此C的离心率e，故选A.9、(2022杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|PF2|4a，且F1PF260，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 B.2xy0C.x2y0 D.2xy0解析：F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，又知|PF1|PF2|4a，|PF1|3a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos 60，即，3a210a24c2，即4c27a2，又知b2a2c2，双曲线C的
25、渐近线方程为yx，即x2y0.10、(2022石家庄模拟)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，) B.(1，2)C.(1，1) D.(2，1)解析：由题意易知点F的坐标为(c，0)，A，B，E(a，0)，因为ABE是锐角三角形，所以0，即0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)0，解得e(0，2)，又e1，e(1，2).11、(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为(A)AyxByxCyxDyx解
26、析：由题意e，双曲线的渐近线方程为yx，故选A12、(2021江西赣州期末)若F1，F2是双曲线1(a0，b0)与椭圆1的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为()Ay2xByxCyxDyx解析：由题意知c3，如图，|PF1|F1F2|6，且|PF2|1064，a1，b2，双曲线渐近线方程为yx，故选B13、(2021山东、湖北重点中学联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线的斜率之积等于4，则双曲线C的离心率为()ABCD解析：因为双曲线C的渐近线方程为yx，所以4，即a2b，所以cb，所以e.故选A14、(2021江苏无锡质检)若双曲线
27、1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2y24y20所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()ABC2D解析：圆x2y24y20的圆心为(0,2)，半径为，由题意知圆心到渐近线bxay0的距离为1，即1，e2，故选C15、(2021河北邯郸模拟)设双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|a|PF1|，则C的离心率的取值范围是()A(1，)B(，)C(1,1D1，)解析：|PF1|PF2|2a，|PF2|PF1|2a，c(|PF1|2a)a|PF1|，|PF1|，又|PF1|ac，ca，整理得e22e10，解得1e1，又e1，10，
28、b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|MF1|，P为线段NF1的中点若|F1F2|4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为()AyxByxCyxDy2x解析：因为|F1F2|4|OP|，所以|OP|，所以|NF2|2|OP|c，又|MF2|MF1|NF2|2a，所以c2a，所以a2b24a2，则.故C的渐近线方程为yx.故选C18、(2021河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线1(a0，b0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，)B(1,
29、1)C(2，)D(2,1)解析：由题意，得AB为双曲线的通径，其长度为|AB|，因为AEB，所以AEF，则tanAEF1，即1，即c2a2a(ac)，即e2e20，解得e2.故选C19、设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A. B. C.1 D.解析：不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，又A1，A2的坐标分别为(a，0)，(a，0)，所以，因为A1BA2C，所以0，即(ca) (ca)0，即c2a20，所以b20，
30、故1，即1，又双曲线的渐近线的斜率为，故该双曲线的渐近线的斜率为1.20、已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析：因为F1(，0)，F2(，0)，y1，所以(x0，y0)(x0，y0)xy30，即3y10，解得y00，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.32解析：不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为yx，分别与xa联立，可得D(a，b)，E(a，b)，则|DE|2b.SODEa|DE|a2bab8，c2a2b22ab16.当且
31、仅当ab2时，等号成立.c2的最小值为16，c的最小值为4，C的焦距的最小值为248.22、(多选)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则()A.渐近线方程为yxB.渐近线方程为yxC.MAN60D.MAN120解析：由题意可得e，设c2t，at，t0，则bt，所以圆A的圆心为(t，0)，半径长为t，双曲线的渐近线方程为yx，即yx，圆心A到渐近线的距离dt，所以弦长|MN|22tb，可得MNA是边长为b的等边三角形，即有MAN60.故选BC.23、设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以
32、OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C.2 D.解析：设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|.在RtOPM中，|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.24、(2022长春市质量监测)已知双曲线1(a0，b0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCy
33、x Dy2x解析：选C.设点P(x，y)，由题意知k1k23，所以其渐近线方程为yx，故选C.25、(2022安徽皖南名校联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()A. B.C2 D.解析：选D.由0，得MF1MF2.不妨设直线MF2平行于双曲线的渐近线l：bxay0，如图所示，从而得l是线段MF1的垂直平分线，且直线MF1的方程为y(xc)设MF1与l相交于点N(x，y)，由得即N.又F1(c，0)，由中点坐标公式，得M，将点M的坐标代入1，得1，化简得c25a2，则离心率e.故选
34、D.26、(2021全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()ABCD解析：设|PF2|m，|PF1|3m，则|F1F2|m，所以C的离心率e27、(2020全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A4B8C16D32解析：由题意知双曲线的渐近线方程为yx因为D，E分别为直线xa与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，b)，所以SODEa|DE|a2bab8，所以c2a2b22ab16，所以c4，所以2
35、c8，所以C的焦距的最小值为8，故选B28、已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2B2，) C(1，D，)解析：当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP(图略)，因为OP为PF1F2的边F1F2上的中线，所以()；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式因为双曲线上存在点P满足2|，所以4|2c，由|a，所以a|，所以a，所以e2故选B29、(2020高考天津卷)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的
36、方程为()A.1 Bx21C.y21 Dx2y21解析：由题知y24x的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x1，而1的渐近线方程为0和0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a1，b1，故选D.30、已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，则双曲线的实轴长是()A32 B16C84 D4解析：选B.由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，所以|OM|a.由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b
37、4，c4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.31、(2020新高考卷改编)已知曲线C：mx2ny21，下列说法错误的是()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线解析：选B.对于A，若mn0，则mx2ny21可化为1，因为mn0，所以00，则mx2ny21可化为x2y2，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若mn0，则mx2ny21可化为y2，y，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确故选B.1，b1，故选D.32、(多选)设F1，F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，且|F1F2|4，则下列结论正确的有()Am
38、2B当n0时，C的离心率是2CF1到渐近线的距离随着n的增大而减小D当n1时，C的实轴长是虚轴长的两倍解析：AC对于选项A：由双曲线的方程可得a2mn，b2mn，所以c2a2b2mnmn2m，因为2c4，所以c2，所以c22m4，可得m2，故选项A正确；对于选项B：当n0时，双曲线C：1，此时a2b22，c24，所以离心率e，故选项B不正确；对于选项C：双曲线C：1中，由选项A知：m2，a22n，b22n，双曲线C的渐近线方程为yx，不妨取焦点F1(2,0)，则F1到渐近线的距离db，所以F1到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；对于选项D：当n1时，a，b1，所以实轴长为2，虚轴长
39、为2，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确故选A、C33、(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若ABF1为正三角形，则()Ab2BC的焦距为2CC的离心率为DABF1的面积为4解析：ACD设|AF2|t，则|AF1|2t，|F1F2|t，离心率e，选项C正确因此 ，b2，选项A正确|F1F2|22，选项B错误ABF1的面积为|F1F2|4，选项D正确故选A、C、D34、(多选)已知椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为
40、e2，P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF2，则下列各项正确的是()A2Be1e2CeeDee1解析：BD因为0且|，所以MF1F2为等腰直角三角形设椭圆的半焦距为c，则cba，所以e1在三角形PF1F2中，F1PF2，设PF1x，PF2y，双曲线C2的实半轴长为a，则故xyc2，故(xy)2x2y2xyxy，所以(a)2，即e2，故，e1e2，ee2，ee1，故选B、D35、已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.解析：由题意，可得F(1，0)，直线
41、l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e.36、已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|2|MF2|，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.解析：不妨设渐近线l的方程为yx，则点M在第四象限，由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a，又|MF1|2|MF2|，所以|MF1|4a，|MF2|2a.设过点F2且与l平行的直线的倾斜角为，则tan ，所以cos ，所以cosF1F2
42、M.在F1F2M中，由余弦定理cosF1F2M，得，整理得c25a2，即ca，所以e.37、已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A2 B4C6 D8解析：选B.因为双曲线1(a0，b0)的两条渐近线为yx，两条渐近线互相垂直，所以1，得ab.因为双曲线的焦距为4，所以c2，由c2a2b2可知2a28，所以a2，所以实轴长2a4.故选B.38、已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.解析：选D.由题意，可得F(1，
43、0)，直线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e .39、(2021高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()A.B.C. D.解析：设|PF2|m，|PF1|3m，则|F1F2|m，所以C的离心率e.40、(2022淮北模拟)过双曲线C：1(ab0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程
44、为_解析：因为渐近线yx与直线xa交于点 A(a，b)，c4且4，又a2b2c2，解得a24，b212，因此双曲线的标准方程为1.41、 (2021武汉武昌区调研)双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_.解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线yx，即axby0的距离为b3，所以a4,2a8.42、(2021高考全国卷乙)已知双曲线C：y21(m0)的一条渐近线为xmy0，则C的焦距为_解析：双曲线y21(m0)的渐近线为yx，即xy0，又双曲线的一条渐近线为xmy0，即xy0，联立两式可得，m3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a
45、2m3，b21，所以双曲线的焦距2c24.43、(2021高考全国卷乙)双曲线1的右焦点到直线x2y80的距离为_解析：由双曲线的性质知c2a2b2459，则c3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x2y80的距离d.44、(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，0，则C的离心率为_.解析：因为0，所以F1BF2B，如图.所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线O
46、A，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.45、(2022淮北二模)已知双曲线C：1(a0，b0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为_解析：把xc代入双曲线：1(a0，b0)得y，所以B，又A(a，0)，直线AB的斜率为，所以，可得a2ac2c22a2，即2c23a2ac0，即2e23e0，因为e1，所以e.46、(2022长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x21的右焦点
47、，P是C左支上一点，A(0，6)，当APF周长最小时，则点P的坐标为_解析：如图，由双曲线C的方程可知c2a2b2189，所以c3，所以左焦点E(3，0)，右焦点F(3，0)，因为|AF|15，所以当APF的周长最小时，|PA|PF|最小由双曲线的性质得|PF|PE|2a2，所以|PF|PE|2，又|PE|PA|AE|AF|15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，所以APF的周长为|AF|AP|PF|15|PE|AP|21515232.直线AE的方程为y2x6，将其代入到双曲线方程得x29x140，解得x7(舍)或x2，由x2，得y2(负值已舍)，所以点P的坐标为(2，
48、2)47、(2022湖北七市(州)联考)已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是_.解析：在PF1F2中，由正弦定理知，又，所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，又|PF1|PF2|2a，|PF2|.由双曲线几何性质知|PF2|ca，则ca，即e22e10，1e1.48、(2022临川一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i1，2)，使得0，则双曲线离心率的取值范围是_解析：设c为半焦距，则F(c，0)
49、，又B(0，b)，所以BF：bxcybc0，以A1A2为直径的圆的方程为O：x2y2a2，因为0，i1，2，所以O与线段BF有两个交点(不含端点)，所以即故解得e0，b0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且F1AF2，则该双曲线离心率的取值范围为_.解析：不妨设A在第一象限，将xc代入yx得A，所以tanF1AF2，即1，即113131e235e213e.50、(2022青岛诊断)已知曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点F到直线x的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.(1)解依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21.(2)证明设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，点M的横坐标为1，MAx轴.过A、B、D三点的圆与x轴相切.
