1、陕西省西安重点中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在集合a，b，c，d上定义两种运算和如下：那么dA. aB. bC. cD. d【答案】A【解析】2.已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用，即可得出直角标准【详解】解：点的极坐标为，可得它的直角坐标，即故选：A【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.若，则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C
2、. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】因为，故，然后根据复数几何意义判断即可.【详解】因为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的几何意义，属于基础题.4.下列叙述中正确的是（ ）A. 若a，b，则“”的充分条件是“”B. 若a，b，则“”的充要条件是“”C. 命题“对任意，有”的否定是“存在，有”D. 钱大姐常说“好货不便宜”，她的意思是：“好货”是“不便宜”的充分条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件定义，以及全称命题的否定是特称命题，即可判断出各选项的真假【详解】对于A，当时，若，不一定成立，A错误；对于B，当时
3、可以推出，但是不一定可以推出，比如，所以“”的必要不充分条件是“”， B错误；对于C，“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错误；对于D，根据充分条件的定义可知，“好货”是“不便宜”的充分条件，D正确故选：D【点睛】本题主要考查充分、必要条件的定义的理解和应用，以及全称命题的否定是特称命题的理解，属于基础题5.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（ ）A. （，1）（0，+）B. （，1）0，+）C. 1，0）D. 0，+）【答案】B【解析】【分析】根据在没有零点列不等式，解不等式求得取值范围.【详解】当x0时，因为log210，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当x0时，函
4、数f（x）没有零点即可，当x0时，02x1，12x0，1a2xaa，所以a0或1a0，即a0或a1.故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.6.下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，、两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ）A. 综合法，反证法B. 分析法，反证法C. 综合法，分析法D. 分析法，综合法【答案】C【解析】【分析】由分析法和综合法的证明思路即可得到答案【详解】由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故选C.【点睛】本题考查分析法和综合法的证明思路，属于基础题7.函数的图象如图所示，则下列结论
5、成立的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，由即，即函数的零点，故选C考点：函数的图像8.以下命题正确的是（ ）幂函数的图像都经过幂函数的图像不可能出现在第四象限当时，函数的图像是两条射线（不含端点）是奇函数，且在定义域内为减函数A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】形如，的函数是幂函数，当时，图象过点，并且在第一象限是增函数，当时，函数只过定点，并且在第一象限是减函数，根据幂函数的解析式，幂函数的图象和性质，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】幂函数不经过原点，所以不正确；形如，的函数是幂函数，当时，所以函数的
6、图象不可能出现在第四象限，所以正确；的定义域是，所以时，的图象是两条射线（不含端点），所以正确；是奇函数，函数的定义域是，函数在是减函数，在也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以不正确.故选：C【点睛】本题考查幂函数的解析式，图象和性质，属于基础题型，本题的关键是幂函数的性质和图象熟练掌握.9.某单位为了了解用电量（度）与气温（）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（）1101318用电量（度）64383424由表中数据得线性回归方程，预测当气温为4时用电量度数为（ ）A. 65B. 67C. 78D. 82【答案】D【解析】【分析】先求出样本中心点为，然后将
7、其代入，得到，从而得到线性回归方程为，再把代入，求出即可得解【详解】解：，把样本中心点代入，得：，所以，即，当时，.故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的特征，样本中心点一定在回归直线上10.设、，则、三数（ ）A. 都小于B. 至少有一个不大于C. 都大于D. 至少有一个不小于【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算出，于此可得出结论.【详解】由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，若、三数都小于，则与矛盾，即、三数至少有一个不小于，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.设
8、f(x)lg(a)是奇函数，且在x0处有意义，则该函数是（ ）A. (，)上的减函数B. (，)上的增函数C. (1，1)上的减函数D. (1，1)上的增函数【答案】D【解析】【分析】根据题意可得f(0)0，代入求出a，并验证为奇函数，再求出函数的定义域，根据对数函数的单调性即可得出结果.【详解】由题意可知，f(0)0，即lg(2a)0，解得a1，故f(x)lg，函数f(x)的定义域是(1，1)，所以f(x)lg为奇函数，在此定义域内f(x)lglg(1x)lg(1x)，函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x)是减函数，故f(x)y1y2在(1，1) 是增函数.故选：D.【点睛】本题
9、考查了由函数的奇偶性求参数值、利用对数函数的单调性判断复合函数的单调性，属于基础题.12.已知定义在R上的函数对任意的x都满足，当时，.若函数恰有6个不同零点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先由条件确定函数的周期，在同一坐标系下做出函数和的图象，分和两种情况讨论轴左右两侧函数图象的交点个数，列式求的取值范围.【详解】由条件可知函数恰有6个不同的零点，转化为与恰有6个不同的交点，的周期，且时，是偶函数，图象关于轴对称，如图，在同一坐标系下画出函数和的图象，当时，图象如图所示，轴左侧有4个交点，右侧有2个交点，此时应满足，解得；当时，与在轴左侧有2个交点
10、，右侧有4个交点，此时应满足 ，解得：；综上可知，的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查奇偶性，对称性，数形结合以及计算能力，属于较难型.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中相应的横线上.）13.若的三边之长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则的面积为.根据类比思想可得：若四面体的三个侧面与底面的面积分别为、，内切球的半径为r，则四面体的体积为_.【答案】【解析】【分析】由合情推理中的类比推理，由平面图形类比空间图形，由二维到三维，由面积到体积，由圆到球，即可得出结论.【详解】三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面
11、体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD(S1S2S3S4)r.故答案为：【点睛】本题主要考查了合情推理中的类比推理，考查了推理，归纳能力，属于容易题14.马林梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对形如的数作了大量的计算、验证工作.人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是_.【答案】4【解析】【分析】根据程序框图写出每次循环运行的结果即可求解.【详解】由 ，输出的值为，满足条
12、件，执行循环体；，输出的值为，满足条件，执行循环体；，输出的值为，满足条件，执行循环体；，输出的值为，满足条件，执行循环体；，输出的值为，满足条件，执行循环体；，输出的值为，满足条件，执行循环体；，输出的值为，满足条件，执行循环体；，输出的值为，不满足条件，结束循环.其中为素数.故答案为：4【点睛】本题考查了程序框图的应用题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题.15.若，则_.（选“”、“”、“”、“【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小，考查了运算能力，属于中档题.16.若函数有最大值3，则实数a值为_.【答案】2【解析】【分析】令，由已知可得有最小值，利
13、用二次函数的最值可得答案.【详解】令，则，由题意有最大值3，则有最小值，所以且，解得.故答案为：2【点睛】本题主要考查指数型复合函数的最值问题，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.随着手机的普及，学生使用手机的人数也越来越多，手机是否影响学生的学习，是备受争论的问题，某学校从学生中随机抽取60人进行访问调查，结果表明：有手机的36人中有24人认为手机对学习有影响，另外12人认为无影响，在无手机的24人中有8人认为手机对学习有影响，另外16人认为无影响.试根据以上数据完成列联表，并用独立性检验的
14、思想，指出有多大把握认为手机对学习有影响.有手机无手机合计有影响无影响合计参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.7022.7063.8415.0246.6357.879【答案】填表见解析；有97.5%的把握认为手机对学习有影响.【解析】【分析】首先根据题中所给的条件和数据，填入表中相应的位置，得到列联表，根据公式计算的值，与表中临界值比较得出结果.【详解】有手机无手机合计有影响24832无影响121628合计362460.所以有97.5%的把握认为手机对学习有影响.【点睛】该题考查的是有关独立性检验的问题，涉及到的知识点有列联表，计算，属于基础题
15、目.18.已知函数.（1）解不等式；（2）求的最小值.【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）由可得,即,求解即可；（2）将写为分段函数的形式,再由一次函数的性质判断单调性,即可求得最值.【详解】解:（1）因为,则,即,解得,即（2）由题,所以在上单调递增,在上单调递减,所以【点睛】本题考查解含绝对值的不等式,考查求分段函数的最值.19.（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；（2）已知，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）首先求的值，再解对数不等式；（2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最
16、大值和最小值.【详解】（1）由题意知定点A的坐标为，解得.由得，.不等式的解集为.（2）由得令，则，.当，即，时，当，即，时，.【点睛】本题考查指对数函数的性质，指对数不等式，以及换元法求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，属于中档题型.20.如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中米，米.记三角形花园APQ的面积为S.（1）当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；（2）要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设
17、米（）,根据三角形相似可得的长,根据三角形面积公式用表示出,再用基本不等式求其最值即可;（2）解不等式即可【详解】（1）设米（），则，.则，当且仅当时取等号.（2）由，得解得或.答：（1）当DQ的长度是20米时，S最小？且S的最小值为1200平方米.（2）要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是或.【点睛】本题主要考查了函数解析式，基本不等式，解一元二次不等式，考查了运算能力，属于中档题.21.已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式；（3）若关于t的方程至少有4个根，求参数k的取值范围.（直接给出答案，不用书写解
18、答过程）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据不等式的解集，可以设，根据函数的对称轴，可以确定函数在区间上的最大值，从而求得，从而求得函数解析式；（2）分类讨论，根据二次函数的对称轴与区间的关系，确定出的表达式；（3）根据的表达式，确定出的函数的图象的走向，进而确定出k的取值范围.【详解】（1）是二次函数，且的解集是，可设，可得在区间在区间上函数是减函数，区间上函数是增函数，结合二次函数的对称性，可知在区间上的最大值是：，得.因此，函数的表达式为.（2）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为.当时，即时，在上单调递减，此时的最小值；当时，函数在对称轴处取得最小值，此时，.
19、当时，在上单调递增，此时的最小值；综上所述，得的表达式为：.（3）根据，画出的图象，由图可知，.【点睛】该题考查的是有关二次函数的问题，涉及到的知识点有二次函数解析式的求解，二次函数在某个区间上的最小值，根据方程根的个数确定参数范围，属于中档题目.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）过点作直线的垂线，交曲线于两点，求.【答案】（1），；（2）16【解析】【分析】（1）消去参数可得普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）可所作直线的参数方程为，代入抛物线方程，由
20、的几何意义易求得.【详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，消去参数可得，曲线的极坐标方程为，即，化为.（2）过点与直线垂直的直线的参数方程为(为参数)，代入，可得，故.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用。(1)直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为 (t为参数)若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t0；|PM|t0|；|AB|t2t1|；|PA|PB|t1t2|.注意在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|.
