1、综合检测(二)第2章推理与证明(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把正确的答案填在题中横线上)1下面几种推理是合情推理的序号的是_由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180；某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.【解析】是类比推理；是归纳推理；不属于合情推理；是归纳推理【答案】2若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：aR，结论是：a20，那么
2、这个演绎推理错在_(填“大前提”，“小前提”或“推理过程”)【解析】a0时，a20，因此大前提错误【答案】大前提3用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_【解析】由等式的特征，左边应添加(k1)2k2.【答案】(k1)2k24下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为_图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1，3，9，27，故an3n1.【答案】3n15已知a0，b0，mlg ，nlg ，则m与n的大小关系为_【解析】()2ab2ab0，0，则.lg lg ，则mn.【答
3、案】mn6已知圆x2y2r2(r0)的面积为Sr2，由此类比椭圆1(ab0)的面积最有可能是_【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即ab情形类比S圆r2，得椭圆面积Sab.【答案】ab7已知结论“若a1，a2正实数，且a1a21，则4”，请猜想若a1，a2，an正实数，且a1a2an1，则_【解析】左边是2项，右边为22，猜想：左边是n项，右边为n2.【答案】n2图28现有一个关于平面图形的命题：如图2，在一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个正方形的某个顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个正方体的某个顶点在另一个正方体的
4、中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_【解析】正方形类比到正方体，重叠面积类比到重叠体积，则S，类比得V()3.【答案】9将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行的从左到右的第三个数是_【解析】前n1行共有正整数123(n1)个，第n行第3个数是3.【答案】10(2013南京高二检测)已知数列an为等差数列，数列bn是各项均为正数的等比数列，且公比q1，若a1b1，a2 013b2 013，则a1 007与b1 007的大小关系是_【解析】由2a1 007a1a2 013，得a1 007.又bb1b2 013，得b1 0
5、07，a1b10，a2 013b2 0130，且a1a2 013，a1 007b1 007.【答案】a1 007b1 00711一切奇数都不能被2整除，21001是奇数，所以21001不能被2整除，其“三段论”的形式为：大前提：一切奇数都不能被2整除小前提：_结论：所以21001不能被2整除【答案】21001是奇数12求证：2的证明如下：因为和2都是正数，所以为了证明2，只需证明()2(2)2，展开得6212，即3，只需证明59.因为59成立所以不等式2成立上述证明过程应用的方法是_【答案】分析法13用反证法证明命题“a，bN*，ab可被5整除， 那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容
6、是_【解析】“a、b中至少有一个能被5整除”的否定为“a，b都不能被5整除”【答案】a，b都不能被5整除14(2013徐州高二检测)在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图3所示)，面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是_图3【解析】CE平分角ACB，而面CDE平分二面角ACDB.可类比成，故结论为.【答案】二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)观察：(1)sin210cos240sin 10cos 40；(2)sin26cos236si
7、n 6cos 36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想【解】观察401030，36630，由此猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).证明：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos sin )1(cos 2sin 2)sin 2sin21cos 2sin 2sin 2.16(本小题满分14分)已知0a1，求证：9.【证明】0a0.欲证9成立，只需证明1a4a9a(1a)整理移项9a26a10.即证明(3a1)20.a(0，1)，(3a1)20显然成立故9成立17(本小题满分14分)(2013无锡高二检测)已知函数f(x)log2(x2)
8、，a，b，c，是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论【解】f(a)f(c)2f(b)，证明如下：a，b，c是不相等的正数，ac2，b2ac，ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，从而(a2)(c2)(b2)2，f(x)log2x是增函数，log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)18(本小题满分16分)如图4甲，在三角形ABC中，ABAC，若ADBC，则AB2BDBC；若类比该命题，如图乙，三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三
9、角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题？图4【解】命题是：三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有SSBCMSBCD，是一个真命题证明如下：在图乙中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DEBC，AEBC.因为AD面ABC，所以ADAE.因为AMDE，所以AE2EMED.于是S(BCAE)2(BCEM)(BCED)SBCMSBCD.19(本小题满分16分)已知函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab)(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(
10、x)的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.【解】(1)当a1，b2时，f(x)(x1)2(x2)f(x)(x1)(3x5)，则f(2)1.又f(2)(21)2(22)0.f(x)在点(2，0)处的切线方程为yx2.(2)因为f(x)3(xa)(x)，由于ab，故a，所以f(x)的两个极值点为xa，x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f(x)的零点故x3b.又因为a2(b)，故可令x4(a)，此时，a，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4.20(本小题满分16分)已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明【解】(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明：当n1，2，3时，不等式显然成立假设当nk(k3)时不等式成立，即1，那么，当nk1时，f(k1)f(k)，因为0，因此，f(k1)，当nk1时成立由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立
