1、安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（普通班，含解析）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知：函数为增函数，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：先通过指数函数的单调性、不等式恒成立问题化简两个命题对应的数集，再利用数集间的包含关系进行判定详解：若函数为增函数，则，即，；若，则，即，；显然，是的充分不必要条件.故选A点睛：本题考查指数函数的单调性、全称命题、简单的逻辑连接词、充分条件和必要条件等知识，意在考查学生的逻辑推理能力和基
2、本运算能力2.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“，”否定是“，”C. 命题“若，则”的逆否命题为假命题D. 命题“若，则”的逆命题为假命题【答案】D【解析】【分析】根据四种命题的定义以及命题真假之间的关系即可得结论.【详解】A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”，故A错误；B. 命题“，”的否定是“，”，故B错误；C. 命题“若，则”为真命题，故它的逆否命题为真，故C错误；D. 命题“若，则”逆命题为“若，则”，当时，成立，故为假命题.故选：D【点睛】本题考查了四种命题的定义以及命题真假之间的关系，考查了学生逻辑推理，概念理解能力，属于基础题.3.直线
3、l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离，故选B.考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.4.已知双曲线的左.右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足，则的面积为 ()A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】
4、【分析】由双曲线的定义可得，联立可求出的长，进而可求三角形的面积.【详解】由双曲线的定义可得，又，两式联立得：，又，所以，即为直角三角形，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，双曲线的焦点三角形问题，一般需要借助抛物线的性质，结合题中条件来处理，难度不大.5.是抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为始边，为终边的角为，且，若，则等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】过作轴和准线的垂线，根据抛物线定义列方程可求出p的值.【详解】过作轴的垂线MN，N为垂足，过M向抛物线的准线作垂线，垂足为A，则 故选：B【点睛】本题考查抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转
5、化划归，数学运算的能力，属于基础题.6.设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.7.已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以切线的斜率，而直线的斜率，由题设，即，应选答案D8.已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由求导公式可知考点：函数求导数9.已知函数f(x)ln x，且f(x)的导数是f(x)若af(7)，bf，cf，则a，b，c的大小
6、关系是()A. cbaB. abcC. bcaD. bac【答案】B【解析】【分析】求出的导数再代值求解即可.【详解】，即.又，则，故.【点睛】本题考查求导运算的简单运用以及代值比较函数值的大小.属简单题.10.已知（为常数）在区间上有最大值，那么此函数在上的最小值是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】f(x)6x212x6x(x2)当2x0，f(x)在(2,0)上为增函数；当0x2时，f(x)0，f(x)在(0,2)上为减函数，f(0)为极大值且f(0)m，f(x)maxm3，此时f(2)5，f(2)37.f(x)在2,2上的最小值为37.11.在半径为r的半圆内作一内接
7、梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为A. B. rC. rD. r【答案】D【解析】设，则上底为，高为，因此梯形面积为因为由，得，根据实际意义得时，梯形面积取最大值，此时上底，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.12.函数f(x)xlnx在(0,6)上是( )A. 单调增函数B. 单调减函数C. 在上是减函数，在上是增函数D. 在上是增函数，在上是减函数【答案】A【解析】【分析】计算导函数，根据导数的正负，判定原函数单调性，即可【详解】,结合x的定
8、义域可知，故为增函数，所以选A【点睛】本道题考查了导函数与原函数的单调性之间的关系，关键得到，即可，属于较容易的题二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“至少有一个正实数满足方程”的否定是_.【答案】，【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题，即得解.【详解】由特称命题的否定是全称命题，命题“至少有一个正实数满足方程”的否定是:，故答案为：，【点睛】本题考查了特称命题的否定是全称命题，考查了学生概念理解的能力，属于基础题.14.如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2的值是_.【答案】【解析】【分析】与椭圆两个焦点有关的问题，一
9、般以回归定义求解为上策，抓住PF1F2为直角三角形建立等式关系【详解】POF2是面积为的正三角形，S=|PF2|2=，|PF2|=2c=2，PF1F2为直角三角形，a=，所以.故答案为【点睛】本题考查了椭圆的基本量，关键是抓住图形特征建立等式关系15.双曲线的一个焦点是，那么实数的值为_.【答案】【解析】【分析】写出双曲线的标准方程：，及，可得，即得解.【详解】双曲线方程为：即：又故答案为：-1【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，考查了学生概念理解，转化划归的能力，属于基础题.16.直线与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为 【
10、答案】【解析】【详解】试题分析：由得，即，考点：抛物线的定义、抛物线与直线相交问题点评：解决抛物线中与直线相交的问题时，一般先联立方程组，化简出一元二次方程，再利用韦达定理解决三、解答题（共6小题，共70分）17.已知：；：（1）若是的必要条件，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围【答案】（）;（）.【解析】【详解】试题分析：（）求出p，q成立等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可（）利用p是q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可解：由x28x200得2x10，即P：2x10，又q：1m2x1+m2（1）若p是q的必要条件，则，即，即
11、m23，解得，即m的取值范围是（2）p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件即，即m29，解得m3或 m3即m的取值范围是（，33，+）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断18.过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.【详解】解：(1)由双曲线的方程得，F1(3，0)，F2(3，0)直线AB的方程为设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x26x2
12、70.，.(2)直线AB的方程变形为.原点O到直线AB的距离为.【点睛】本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力.19.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求所有实数的值；【答案】（1）当,减区间为，当时,递增区间为，递减区间为；（2）.【解析】试题分析：（1）求导,利用导数得出函数单调性；（2）对进行分类:当时,递减,又知可得；当时,只需求,让最大值小于等于零即可.试题解析：（1），当时，减区间为当时，由得，由得递增区间为，递减区间为.（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而在区间上不可能恒成立；当时，在上递增，在上递减，令， 依题意有，而，且在上
13、递减，在上递增，故.考点：导数的应用.20.已知函数（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点的坐标；（3）如果曲线的某一切与直线垂直，求切点坐标和切线方程【答案】解：（1）（2）（3）【解析】解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x021，直线l的方程为y(3x021)(xx0)x03x016，又直线l过点(0,0)，0(3x021)(x0)x03x016
14、，整理得，x038，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线yx3垂直，切线的斜率k4设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x0214，x01，或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18即y4x18或y4x1421.如图，椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，结合即得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立，设，用点坐标表示，韦达定理代入即得解.【详解】（1）由题
15、设知，结合，解得.所以椭圆的方程为.（2）由题设知，直线的方程为，代入，得.由已知，设，则，从而直线的斜率之和.所以直线斜率之和为定值2.点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.22.已知函数，直线（）求函数的极值；（）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；（）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由【答案】（）极小值，无极大值；（）见解析；（）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点【解析】试题分析：（）先求出函数定义域再求导，得令，解得的值，画出 当变化时，与的变化情况表所示，可得函数的单调区间，从而得到函数有极小值，无极大
16、值（）对于是否存在问题，先假设存在某个，使得直线与曲线相切，先设出切点，再求，求得切线满足斜率，又由于过点，可得方程显然无解，所以假设不成立 所以对于任意，直线都不是曲线的切线.（）写出“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由分离系数法得，令，得，其中，且.考察函数，其中，求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证试题解析：函数定义域为，求导，得，令，解得当变化时，与的变化情况如下表所示：所以函数的单调增区间为，单调减区间为，所以函数有极小值，无极大值（）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，设切点为，又因为，所以切线满足斜率，且过点，所以，即，此方程显然无解，所以假设不成立所以对于任意，直线都不是曲线的切线.（）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由方程，得.令，则，其中，且.考察函数，其中，因为时，所以函数在单调递增，且.而方程中，且.所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.考点：导数的单调性与导数及导数的几何意义.