1、秘密2022年12月15日16：00前重庆市2022-2023学年（上）12月月度质量检测2022.12高三数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则（）ABCD2设，则（）ABCD3若存在实数， 使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（）ABCD
2、4已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（）ABCD5在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则线段CD长度的最小值为（）A2BC3D6如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（）ABCD27已知直线与圆（为整数）相切，当圆的圆心到直线的距离最大时，（）ABC1D8我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个
3、底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9已知等差数列的前n项和为，的前n项和为则下列说法正确的是（）A数列的公差为2B
4、C数列是公比为4的等比数列D10已知AB两点的坐标分别是，直线APBP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（）A当时，点P的所在的曲线是焦点在x轴上的双曲线B当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的双曲线C当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的椭圆D当时，点P的所在的曲线是圆11如图，在平行四边形中，分别为的中点，沿将折起到的位置（不在平面上），在折起过程中，下列说法不正确的是（）A若是的中点，则平面B存在某位置，使C当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为D直线和平面所成的角的最大值为12已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5
5、分，共20分。13复数和在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小为_（结果用反三角函数表示）.14若，则_15在分层抽样时，如果将总体分为k层，第j层抽取的样本量为，第j层的样本平均数为，样本方差为，记，则所有数据的样本方差为_16已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17函数满足，且与直线相切.(1)求实数，的值；(2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.18已知的内角、所对的边分别为、，且.(1)求角的大小;(2)若，求的值.
6、19已知双曲线C过点,.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值.20如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.(1)求证：；(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.21已知(1)求的单调递增区间；(2)若，且，证明22在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素
7、为一个小组中成员的编号，例如：集合表示编号为1，2，3，4的员工结为一个小组，并记这个组为.再记为小组合力工作可产生的总贡献，并对编号为的员工引入边界贡献，表示如果员工加入小组中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的Shapley值为其中为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的Shapley值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播，在一次三人联动带货活动（一种直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有50000份订单任务要完成，单
8、独直播能完成10000份，单独直播能完成12500份，单独直播能完成5000份，如果，联动带货可以完成27000份，联动带货能完成37500份，联动带货能完成35000份，联动带货能完成50000份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑，三人最终的奖金分配.请回答以下问题：（1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释Shapley值的合理性；（2）根据，三人Shapley值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）.秘密2022年12月15日16：00前重庆市2022-2023学年（上）12月月度质量检测2022.12高三数学答案及评分标准1B2B3C4B5D【详解】解：
9、由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，由，两边平方，得即，当且仅当，即时取等号，即，线段CD长度的最小值为故选：D6D【详解】如图,连接,取中点,过作面，垂足为,在正方体中,平面,且平面,平面平面,平面平面,且平面，平面,为的中点,故,而对固定点,当时,最小,此时由面，面，又,，且面，故面，又面,则面面，根据三棱锥特点，可知，而易知为等腰直角三角形，可知为等腰直角三角形,.故选：D.7D【详解】由题意，圆C： ，半径 ，C点到直线l的距离 ，a为整数， ；C到直线 的距离 ，考察 ，令 ，则有 ， ，即 的取值范围是 ，当 时， ， 最大；故选：D.8D【详解】解：构造一个底面半径为，高为的圆柱
10、，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为时，小圆锥底面半径为，则，故截面面积为：，把代入，即，解得：，橄榄球形几何体的截面面积为，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：圆柱圆锥.故选：D.9AB10AD11ABD【详解】取中点，连接.若A正确，平面，且为三角形中位线，则，面，则面，因为平面所以平面平面，因为面平面面平面所以，显然，为三角形中位线，矛盾，故假设不成立，A错误；以A为坐标原点，AD为y轴正半轴，在平面中作与AD垂直方向为x轴正半轴，z轴垂直平面，建立空间坐标系.因为，所以，所以，所以，所以，即，又因为，则，若B正确，则有，因为平面，所以平面，因为平面，则
11、必定成立.则根据题意，可得、.，则，即不成立，故矛盾，所以B不成立；当二面角为直二面角时，即平面平面.根据上面可知，所以，又，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故四面体为所有面都是直角三角形的四面体，根据外接球性质可知，球心必为中点，即为外接球半径.，由勾股定理可知，则，外接球面积为，故C正确.当平面平面时，直线和平面所成的角的最大，记此时角为.由上图可知，在中，由余弦定理可解得.此时.此时，故D错.故选：ABD12CD【详解】因为，且恒成立，所以，则，故，则，当时，则，故，则恒成立，当时，则，对两边取对数，得，令，则，又，所以在上单调递增，故，即在上恒成立，令，则在上恒成立，即，又，令，
12、得；，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，故，对于AB，易得，故AB错误；对于CD，易得，故CD正确.故选：CD.131410015【详解】解：.样本均值.又.计算总体又.故答案为：16【详解】根据题意，为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；由题意，令，可得 ，则，所以，即；当，当，如图所示，由勾股定理得，即，即，解得：.故答案为：17（1）因为，又，所以有，解得，所以，.因为函数与直线相切，设切点为，则，即，解得，所以，所以.（2）由（1）知，即.当时，解得或（舍去）；当时，有，所以有，整理可得，因为，所以，即.所以，是以为首项，1为公差的等差数列.所以，.则不等式对于任意恒成立，
13、可转化为，即对于任意恒成立.当为偶数时，即有恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，此时有；当为奇数时，即有恒成立，令，当时，单调递减；当时，单调递增.又，所以当为奇数时，最小值为.所以，即有.综上所述，.18.（1）已知，根据正弦定理可得：，在中，所以，得，即，得.（2）由，得，即.根据余弦定理得，解得.19（1）设双曲线C的方程为,将,代入上式得:,解得,双曲线C的方程为.（2）设,由题意易得直线l的斜率存在,设直线l的方程为,代入整理得,且,则,故为定值.20（1）底面是菱形，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解法一：由（1）知面，又平面，平面平面，作交线，垂足为，因为平
14、面平面=，平面，则面，又平面，所以.再作，垂足为，面，面， 所以面，又面则，所以为二面角的平面角，因为平面，所以到底面的距离也为.作，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，又为锐角，所以又，所以为等边三角形，故，所以，因为，所以，所以.所以二面角的平面角的余弦值为.解法二：由（1）知面，又平面，平面平面，作，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，如图，建立直角坐标系：为原点，为轴方向，轴.因为平面，所以到底面的距离也为.所以，又为锐角，所以又，所以为等边三角形，故， 在空间直角坐标系中：，设，则则，设平面的法向量为，取设平面的法向量为，取所以，由题知二面角为锐角，故二面角的平面角的余
15、弦值为.21（1） 的定义域为 .，仅当时取等号， 的单调递增区间为 .（2）由题可得 ，若 ， 则必有 ， 则 ；若，则必有，则若，则要证，只需证，只需证，即证，又，故只需证令则，且，故在上单调递增，得证.22 (1) 由Shapley值的评判标准知：利用边界贡献计算出员工的Shapley值，使员工所得与员工的贡献率相等，相对比较公平，也可以促进员工之间工作的积极性.(2)由题意知：加入的顺序有种，按的顺序：，；按的顺序：，；按的顺序：，；按的顺序：，；按的顺序：，；按的顺序：，；的Shapley值为： ，的Shapley值为：,的Shapley值为：；故分得奖金的；故分得奖金的；故分得奖金的.
